2015-广东卷文-19 解-数列递推

本题导读

把 $4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}$ 拆成 $4(S_{n+2}-S_{n+1})-4(S_{n+1}-S_n)+(S_n-S_{n-1})=0$，立得 $a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_n$ 型二阶线性递推，从而 $\{a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n\}$ 等比。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，已知 $a_1=1$，$a_2=\frac{3}{2}$，$a_3=\frac{5}{4}$，且当 $n⩾2$ 时，$4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}$．

(1) 求 $a_4$ 的值；

(2) 证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n\right\}$ 为等比数列；

(3) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

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把 $4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}$ 拆成 $4(S_{n+2}-S_{n+1})-4(S_{n+1}-S_n)+(S_n-S_{n-1})=0$，立得 $a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_n$ 型二阶线性递推，从而 $\{a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n\}$ 等比。

✅【答案】

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(1) $a_4=\frac{7}{8}$

(2) 见解析（首项 1，公比 $\frac{1}{2}$）

(3) $a_n=(2n-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $S_1=1$，$S_2=\frac{5}{2}$，$S_3=\frac{15}{4}$。取 $n=2$：

$4S_4+5S_2=8S_3+S_1\Rightarrow 4S_4=8\times \frac{15}{4}+1-\frac{25}{2}=\frac{37}{2}$，$S_4=\frac{37}{8}$，故 $a_4=S_4-S_3=\frac{37}{8}-\frac{30}{8}=\frac{7}{8}$。

（2） 当 $n⩾2$ 时，把递推式改写为

$4(S_{n+2}-S_{n+1})-4(S_{n+1}-S_n)+(S_n-S_{n-1})=0$，

即 $4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0$，$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_n$。（拆分核验：$4S_{n+2}-4S_{n+1}-4S_{n+1}+4S_n+S_n-S_{n-1}=4S_{n+2}-8S_{n+1}+5S_n-S_{n-1}$，恰为原式移项。）

设 $b_n=a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n$，则

$b_{n+1}=a_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}=a_{n+1}-\frac{1}{4}{a}_n-\frac{1}{2}{a}_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n\right)=\frac{1}{2}{b}_n$。

又 $b_1=a_2-\frac{1}{2}{a}_1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\ne 0$，故 $\{b_n\}$ 是首项为 1、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。

（3） $b_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，即 $a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，亦即 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。

用归纳法：$n=1$ 时 $a_1=1=(2\times 1-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^0$ 成立；设 $a_n=(2n-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，则

$a_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot (2n-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=(2n-1+2){\left(\frac{1}{2}\right)}^n=(2n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，命题成立。

故 $a_n=(2n-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的互化；二阶线性递推的构造；等比数列的定义

核心方法：“差分拆式”把 $S_n$ 递推化成 $a_n$ 递推；构造 $\{a_{n+1}-\lambda a_n\}$ 型等比数列；数学归纳法收尾

避坑指南：（1）递推式成立的范围是 $n⩾2$，求 $a_4$ 只能代 $n=2$；（2）拆分时 $5S_n=4S_n+S_n$ 的分配是关键，拆错就得不到齐次递推；（3）第（3）问”归纳 + 代入递推”两步缺一不可，只猜不证不算完成。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 的高次线性递推（$4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}$）是 2015 广东卷文理同源题的标志设计，把”和式递推 — 差分 — 构造等比 — 归纳通项”四级火箭串成一题。

结论推广：系数的一般化：若 $S$ 递推可差分为 $a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$，则 $\{a_{n+1}-\lambda a_n\}$ 等比的充要条件是 $\lambda$ 满足 ${\lambda }^2=p\lambda +q$（特征方程）。本题 $p=\frac{3}{4}$？——直接对应：$a_{n+2}=a_{n+1}-\frac{1}{4}{a}_n$，$\lambda =\frac{1}{2}$ 满足 ${\lambda }^2=\frac{1}{2}\cdot \lambda -\frac{1}{4}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}$（重根），这正是公比 $\frac{1}{2}$ 的来历。

方法推广：见到 $\{S_n\}$ 的线性递推，第一反应是”化 $a_n$“；见到 $a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$，第一反应是”特征根构造 $a_{n+1}-\lambda a_n$”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-19 解-由前n项和求通项
• 2013年广东卷理-19
• 2011-广东卷理-20