2008-江西卷文-05 单-数列递推累加裂项

本题导读

$a_n=a_1+\sum \ln \frac{k+1}{k}$，对数内连乘 telescoping 成 $\ln n$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$，则 $a_n=$()

A. $2+\ln n$　　　　B. $2+(n-1)\ln n$　　　　C. $2+n\ln n$　　　　D. $1+n+\ln n$

🔍【思路分析】

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累加：$a_n=2+\ln \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdots \frac{n}{n-1}\right)=2+\ln n$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由递推式累加（$n⩾2$）： $a_n-a_1={\sum }_{k=1}^{n-1}\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \left(\frac{2}{1}\times \frac{3}{2}\times \cdots \times \frac{n}{n-1}\right)=\ln n$. 所以 $a_n=2+\ln n$；$n=1$ 时也成立，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推关系与累加裂项

核心方法：$a_{n+1}-a_n=f(n)$ 型用累加法求和，$f(n)$ 可裂项时前后相消

避坑指南：累加时 $n$ 从 1 加到 $n-1$，项数别数错；裂项后注意首尾残留项，符号不整齐时先通分核对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推累加是数列求和的基石（2010 江西文 17、2013 广东文 19）

结论推广：差为等比时通项为 $2^n-1$ 型，差为等差时通项为 $n^2$ 型，两类都要会

方法推广：累加、累乘、构造辅助数列三条路按递推形式选用

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项
• 2015-广东卷文-19 解-数列递推
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项