2011-广东卷文-20 解-数列递推与均值

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及归纳法求通项。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 设 $b>0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=b$，$a_n=\frac{nb{a}_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}$（$n⩾2$）.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：对于一切正整数 $n$，$2a_n⩽b^{n+1}+1$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 取倒数化为线性递推
2. 步骤2：归纳证 $a_n=\frac{n{b}^n}{1+b+\cdots +b^{n-1}}$
3. 步骤3：(2) 对 $b^{n+1}+1$ 与 $S_n$ 分别用均值不等式后相乘

✅【答案】

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(1) $a_n=\frac{n{b}^n}{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由递推式取倒数：

$\frac{1}{a_n}=\frac{a_{n-1}+n-1}{nb{a}_{n-1}}=\frac{1}{nb}+\frac{n-1}{nb}\cdot \frac{1}{a_{n-1}}$。

用归纳法证 $a_n=\frac{n{b}^n}{1+b+\cdots +b^{n-1}}$：$n=1$ 时 $a_1=\frac{1\cdot b}{1}=b$ 成立。

设 $a_{n-1}=\frac{(n-1)b^{n-1}}{1+b+\cdots +b^{n-2}}$，则

$a_{n-1}+n-1=\frac{(n-1)b^{n-1}+(n-1)(1+b+\cdots +b^{n-2})}{1+b+\cdots +b^{n-2}}=\frac{(n-1)(1+b+\cdots +b^{n-1})}{1+b+\cdots +b^{n-2}}$。

代入递推式：$a_n=\frac{nb\cdot a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}=\frac{nb\cdot \frac{(n-1)b^{n-1}}{1+b+\cdots +b^{n-2}}}{\frac{(n-1)(1+b+\cdots +b^{n-1})}{1+b+\cdots +b^{n-2}}}=\frac{n{b}^n}{1+b+\cdots +b^{n-1}}$。

故通项公式对一切正整数 $n$ 成立。

(2) 记 $S_n=1+b+\cdots +b^{n-1}$。

由 $b>0$，均值不等式给出 $b^{n+1}+1⩾2\sqrt{b^{n+1}}=2b^{\frac{n+1}{2}}$；

又 $n$ 个正数 $1,b,\cdots ,b^{n-1}$ 的几何平均为 $b^{\frac{0+1+\cdots +(n-1)}{n}}=b^{\frac{n-1}{2}}$，故 $S_n⩾n{b}^{\frac{n-1}{2}}$。

两式均为正，相乘：$(b^{n+1}+1)S_n⩾2n{b}^{\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}}=2n{b}^n$。

由 (1) $a_n=\frac{n{b}^n}{S_n}$ 且 $S_n>0$，故 $2a_n=\frac{2n{b}^n}{S_n}⩽b^{n+1}+1$，得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取倒数化递推；数学归纳法；$n$ 个数的算术—几何平均不等式

核心方法：倒数化把分式递推变成线性关系，归纳法收口；(2) 是”两个均值不等式相乘”的固定套路，指数 $\frac{n+1}{2}+\frac{n-1}{2}=n$ 恰好对齐

避坑指南：归纳步骤中 $a_{n-1}+n-1$ 的通分合并是关键一步，分母 $1+b+\cdots +b^{n-2}$ 别写成到 $b^{n-1}$；(2) 中两个不等式相乘要求两边均为正（$b>0$ 保证），且指数相加恰为 $n$——先核对次数再相乘；$b=1$ 时 $S_n=n$、各等号同时成立（$2a_n=2⩽b^{n+1}+1=2$ 取等），是检验的好特例。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列递推与不等式题与 2013-广东卷文-19、2015-广东卷文-19、2012-湖南卷文-20 同族。

结论推广：推广：分式递推 $a_n=\frac{nb{a}_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}$ 经倒数化后通项分母为几何级数和 $S_n$；凡”通项含前 $n$ 项和作分母”的不等式，都可试”和 $⩾n\times$ 几何平均”这一路，两个 AM-GM 的指数需设计成相加恰为整数次幂。

方法推广：数列递推大题：分式递推先倒数；证通项用归纳法并保留”分母几何级数”结构；不等式优先在 $b^{n+1}+1$ 与 $S_n$ 两个因子上分别用均值不等式再相乘。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2015-广东卷文-19 解-数列递推
• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率