2015-广东卷理-04 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。通过组合数公式确定样本空间的总数以及目标事件包含的基本事件数，是概率统计板块的基础计算题。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 ()

A. 1　　　　　　B. $\frac{11}{21}$　　　　　　C. $\frac{10}{21}$　　　　　　D. $\frac{5}{21}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从 15 个球中任取 2 个，不考虑顺序，总数为 $C_{15}^2$。
2. 确定目标事件数：恰有 1 个白球和 1 个红球，意味着从 10 个白球中选 1 个，从 5 个红球中选 1 个，根据分步计数原理，情况数为 $C_{10}^1\times C_5^1$。
3. 计算概率：利用公式 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算所有可能的取法（分母）： 从 15 个球中取 2 个的组合数为： $C_{15}^2=\frac{15\times 14}{2\times 1}=105$

2. 计算满足条件的取法（分子）： 从 10 个白球中取 1 个有 $C_{10}^1=10$ 种取法； 从 5 个红球中取 1 个有 $C_5^1=5$ 种取法。 根据分步乘法计数原理，共有 $10\times 5=50$ 种取法。

3. 计算概率： $P=\frac{C_{10}^1\cdot C_5^1}{C_{15}^2}=\frac{50}{105}$

4. 约分化简： 分子分母同时除以 5，得： $P=\frac{10}{21}$

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 组合与排列的选择：本题“任取”不涉及取出后的顺序，因此使用组合数 $C$。如果题目是“先后抽取且不放回”，则可能涉及排列。
2. 分步思想：处理“各取一个”或“混合抽取”的情况，先分类或分步确定各色球的选取数，再相乘。
3. 计算检查：组合数 $C_{15}^2$ 计算容易在约分处出错，建议写出阶乘定义式进行化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广:
  • 若求“2 个球颜色相同”的概率，则分子为 $C_{10}^2+C_5^2$。
  • 这种模型属于超几何分布的简化版。
• 方法推广:
  • 分步相乘法：也可以理解为第一球取白、第二球取红的概率加上第一球取红、第二球取白的概率。 $P=\frac{10}{15}\times \frac{5}{14}+\frac{5}{15}\times \frac{10}{14}=\frac{50}{210}+\frac{50}{210}=\frac{100}{210}=\frac{10}{21}$。
• 相关知识点:
  • 超几何分布：若抽取 $n$ 个球，求其中有 $k$ 个某种颜色球的概率分布。

下一步建议： 2015广东卷理科第 4 题已录入。是否继续录入 第 5 题？（通常涉及平面向量或立体几何的基本判定）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-4
• 2014-广东卷理-11 填-古典概型
• 2006-广东卷-16 解-分布列与数学期望