2014-广东卷理-11 填-古典概型

本题导读

本题通过统计学中的中配概念结合概率论中的理性概型进行考查。关键在于理解中配的定义，并将其转化为抽取对元素范围的限制条件。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 来自$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是$6$的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从$10$个数中任取$7$个数，总情况数为$C_{10}^7$（等价于$C_{10}^3$）。

2. 分析满足条件的事件：

   • 抽出$7$个数，到大排列后，第一个$4$个位置上的数即为中位。

   • 若中地址是$6$，则说明抽取的$7$个数中：

     • 必有 6：占用$1$个名额。

     • 比 6 小的数量有 3 个：必须从$\{0,1,2,3,4,5\}$这$6$个数中抽取。

     • 超过 6 大的数量有 3 个：必须从$\{7,8,9\}$这$3$个数中抽取。

3. 计算概率：利用一般概型概率公式$P=\frac{\text{满足条件的事件数}}{\text{总基本事件数}}$现场。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求基本事件总数$n$ 从$10$个不同的数中随机抽取$7$个数，共有：

$n=C_{10}^7=C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120(\text{种})$

第二步：求中缀为 6 的事件数$m$ 设抽取的集合为$S$，若$median(S)=6$，则：

• 必须包含元素$6$；

• 需从小于$6$的集合$\{0,1,2,3,4,5\}$（共$6$个）中选出$3$个数，选法有$C_6^3$种；

• 需从大于$6$的集合$\{7,8,9\}$（共$3$个）中选出$3$个数，选法有$C_3^3$根据分步乘法计数原理，满足条件的事件数为：

  $m=C_6^3\times C_3^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times 1=20(\text{种})$

第三步：计算概率$P$ 根据宏观概型公式：

$P=\frac{m}{n}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

故答案为 $\frac{1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型与中位数。

2. 核心方法：由中位数为 6 确定取数组合，用 $P=\frac{C_6^3{C}_3^3}{C_{10}^7}$ 求概率。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与组合数。

2. 结论推广: 中位数为 6 需比 6 小、比 6 大各取 3 个。

3. 方法推广: 统计量条件概率先确定满足条件的组合结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型