2015-广东卷理-11 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理在解三角形中的基本应用。核心逻辑是通过内角和定理确定角 A 的大小，再利用正弦定理实现“边角转化”求得边长。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.若 $a=\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{1}{2}$，$C=\frac{\pi }{6}$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定角 B：由 $\sin B=1/2$ 得到 $B$ 的可能取值，结合三角形内角和及“大边对大角”原则排除增解。
2. 求出角 A：利用 $A=\pi -(B+C)$ 计算。
3. 应用正弦定理：代入公式 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求解 $b$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求角 B 与 A： 因为 $\sin B=\frac{1}{2}$，且 $B\in (0,\pi )$，所以 $B=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$。
   • 若 $B=\frac{5\pi }{6}$，则 $B+C=\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\pi$，此时 $A=0$，不符合题意，舍去。
   • 故 $B=\frac{\pi }{6}$。 此时 $A=\pi -(B+C)=\pi -(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6})=\frac{2\pi }{3}$。
2. 应用正弦定理： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{2\pi }{3}}=\frac{b}{\sin \frac{\pi }{6}}$ 代入三角函数值 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$： $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{1}{2}}⟹2=2b⟹b=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 一解还是多解：在已知 $\sin B$ 求角 $B$ 时，务必检查 $B+C<\pi$ 这一隐含条件。
• 正弦定理场景：已知两角及其一边的对边，或已知两边及其中一边的对角时，优先考虑正弦定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若本题要求面积，可利用 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
• 相关知识点:
  • 余弦定理：已知两边及其夹角时求第三边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2010-广东卷理-11
• 2004-广东卷理-11 单-正切函数的图象与单调性
• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定