2015-广东卷理-14 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心逻辑是将直线和点的极坐标形式统一转换为直角坐标形式，进而利用点到直线的距离公式进行求解。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） （选做题：坐标系与参数方程） (坐标系与参数方程选做题)已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$，点 $A$ 的极坐标为 $A(2\sqrt{2},\frac{7\pi }{4})$，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线的方程：利用两角差的正弦公式展开直线的极坐标方程，再代入 $\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y$ 转化为直角坐标方程。
2. 转化点的坐标：利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 将点 $A$ 的极坐标转换为直角坐标 $(x_0,y_0)$。
3. 计算距离：代入点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 求解。

✅【答案】

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3. 计算点 $A$ 到直线 $l$ 的距离： 点 $A(2,-2)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离为： $d=\frac{|2-(-2)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2+2+1|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 将直线 $l$ 的方程化为直角坐标方程： 原方程为 $2\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$ 代入 $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得： $2\rho (\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta )=\sqrt{2}$ $\sqrt{2}\rho \sin \theta -\sqrt{2}\rho \cos \theta =\sqrt{2}$ 两边同时除以 $\sqrt{2}$ 得：$\rho \sin \theta -\rho \cos \theta =1$ 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 得直线 $l$ 的直角坐标方程为： $x-y+1=0$

2. 将点 $A$ 的极坐标化为直角坐标： 点 $A$ 的极径 $\rho =2\sqrt{2}$，极角 $\theta =\frac{7\pi }{4}$。 $x_A=\rho \cos \theta =2\sqrt{2}\cos \frac{7\pi }{4}=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$ $y_A=\rho \sin \theta =2\sqrt{2}\sin \frac{7\pi }{4}=2\sqrt{2}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-2$ 所以点 $A$ 的直角坐标为 $(2,-2)$。

3. 计算点 $A$ 到直线 $l$ 的距离： 点 $A(2,-2)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离为： $d=\frac{|2-(-2)+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2+2+1|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心转换：极坐标向直角坐标转换时，$x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 是最稳健的工具。
• 计算陷阱：在展开三角公式时，系数 $2\rho$ 必须分配均匀。此外，$\frac{7\pi }{4}$ 位于第四象限，其正弦值为负，余弦值为正，符号判断不能出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若极坐标方程形如 $\rho \sin (\theta -\alpha )=d$，它表示一条与极轴成 $\alpha$ 角、且到原点距离为 $d$ 的直线。
• 方法推广:
  • 极坐标直接法：部分距离问题可以直接在极坐标系下利用几何关系（如垂径定理或三角恒等式）求解，无需化为直角坐标。
• 相关知识点:
  • 极坐标下的距离公式：$|P_1{P}_2{|}^2={\rho }_1^2+{\rho }_2^2-2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2013年广东卷理-14
• 2014-广东卷理-03 单-线性规划