2015-广东卷理-20 解-圆的方程

本题导读

本题是广东卷解析几何大题，综合考查了圆的性质、轨迹方程的求解以及直线与曲线的交点个数问题。通过中点性质构建轨迹，并利用数形结合处理动态直线的边界情况，对逻辑严密性和运算能力要求较高。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1:x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A,B$.

(1) 求圆 $C_1$ 的圆心坐标；

(2) 求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3) 是否存在实数 $k$，使得直线 $L:y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将圆的一般方程配方化为标准方程，直接读取圆心坐标。
2. 第二问：
   • 法1（代数法）：设直线 $l:y=tx$，与圆方程联立，利用韦达定理表示中点 $M(x_0,y_0)$，消去参数 $t$ 得到轨迹方程。注意由判别式 $\Delta >0$ 确定 $x$ 的范围。
   • 法2（点差法）：设 $A,B$ 坐标，代入圆方程作差，利用中点 $M$ 及 $O,A,B,M$ 共线的斜率关系建立方程。
3. 第三问：识别轨迹 $C$ 是一段圆弧。利用数形结合，分析直线 $L$ 过定点 $(4,0)$，通过寻找临界位置（切线、过端点的直线）来确定只有一个交点的 $k$ 的取值范围。

✅【答案】

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圆心为𝐶1(3,0).（2）短答案：轨迹为𝐶∶𝑥2+𝑦2−3𝑥=0.（3）短答案：𝑘∈⎛⎜⎝

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 圆 $C_1$ 的方程 $x^2+y^2-6x+5=0$ 化为：$(x-3{)}^2+y^2=4$。 所以圆心坐标为 $(3,0)$。

(2) 解： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x_0,y_0)$。 因为直线 $l$ 过原点且与圆交于两点，斜率必存在，设 $l:y=tx$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=tx\\ x^2+y^2-6x+5=0\end{array}⟹(1+t^2)x^2-6x+5=0$。 由题意，$\Delta =36-20(1+t^2)>0⟹t^2<\frac{4}{5}$。 由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{6}{1+t^2}$，则 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{1+t^2}$。 将 $t^2=\frac{3}{x_0}-1$ 代入 $y_0^2=t^2{x}_0^2$ 得： $y_0^2=(\frac{3}{x_0}-1)x_0^2=3x_0-x_0^2⟹x_0^2+y_0^2-3x_0=0$。 配方得轨迹 $C$ 的方程为：$(x-\frac{3}{2}{)}^2+y^2=\frac{9}{4}$。 由于 $0\le t^2<\frac{4}{5}$，代入 $x_0=\frac{3}{1+t^2}$ 可得 $\frac{5}{3}<x_0\le 3$。

(3) 解： 由（2）知曲线 $C$ 是圆 $(x-\frac{3}{2}{)}^2+y^2=\frac{9}{4}$ 在区间 $\frac{5}{3}<x\le 3$ 上的圆弧。 代入 $x=\frac{5}{3}$ 到曲线 $C$ 方程得 $y=\pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$。 曲线端点为 $D(\frac{5}{3},\frac{2\sqrt{5}}{3})$，$E(\frac{5}{3},-\frac{2\sqrt{5}}{3})$，另一端点为 $F(3,0)$（但不包含 $D,E$）。 直线 $L:y=k(x-4)$ 恒过定点 $G(4,0)$。

① 相切情况：联立 $y=k(x-4)$ 与 $x^2+y^2-3x=0$。 整理得 $(1+k^2)x^2-(3+8k^2)x+16k^2=0$。 令 $\Delta =(3+8k^2{)}^2-64k^2(1+k^2)=0⟹16k^2=9⟹k=\pm \frac{3}{4}$。 此时交点横坐标 $x=\frac{3+8k^2}{2(1+k^2)}=\frac{3+4.5}{2(1+0.5625)}=\frac{12}{5}=2.4$，满足 $\frac{5}{3}<2.4\le 3$，故有效。 ② 过端点情况： $k_{GD}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}{\frac{5}{3}-4}=-\frac{2\sqrt{5}}{7}$，$k_{GE}=\frac{-\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}{\frac{5}{3}-4}=\frac{2\sqrt{5}}{7}$。 观察图像可知： 当 $k\in (-\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{2\sqrt{5}}{7})$ 时，直线 $L$ 与弧 $DFE$ 有两个交点或不符合要求。 当直线 $L$ 在弧端点 $D$ 和 $E$ 之外运动，即 $k\in (-\frac{3}{4},-\frac{2\sqrt{5}}{7})\cup (\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{3}{4})$ 时，只有一个交点。 此外，当 $k=\pm \frac{3}{4}$ 时（切点）只有一个交点。 结合图形边界，满足条件的 $k$ 的范围为： $k\in (-\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{2\sqrt{5}}{7})\cup \{\pm \frac{3}{4}\}$？不，应为： $k\in (-\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{2\sqrt{5}}{7})\cup \{-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\}$。 (注：根据图形 $G(4,0)$ 在圆外，切线斜率绝对值最大。过 $D,E$ 之间穿过圆弧会有两个交点，但在 $G$ 处发射，若斜率在 $GD$ 与 $GE$ 之间，则只会交弧一次)。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 轨迹方程的完整性：求轨迹方程必须包含范围限制（由 $\Delta >0$ 导出），这是解析几何最常见的扣分点。
• 临界思维：处理“只有一个交点”时，不仅要考虑 $\Delta =0$（相切），还要考虑直线穿过曲线端点的情况。
• 几何意义：垂直于弦的直径平分弦。中点 $M$ 的轨迹其实是以圆心与原点连线为直径的圆的一部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 圆的过定点弦中点的轨迹，始终是以该定点与圆心连线为直径的圆（或其一部分）。
• 方法推广:
  • 参数方程法：设直线倾斜角为 $\alpha$ 进行表示。
• 相关知识点:

  • - **点到直线的距离公式**：验证相切时也可用 $d = R$。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2013年广东卷理-20
• 2004-广东卷理-20 解-坐标法