2015-广东卷文-20 解-圆的轨迹

本题导读

(1) 配方即得。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1:x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A$，$B$．

(1) 求圆 $C_1$ 的圆心坐标；

(2) 求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3) 是否存在实数 $k$，使得直线 $L:y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

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(1) 配方即得。（2）$M$ 是过原点的弦的中点，$OM\perp C_{1}M$，轨迹是以 $O{C}_1$ 为直径的圆；再由”相交于不同两点”限 $x$ 的范围。（3）“只有一个交点”= 相切，或一个交点落在轨迹弧之外，两类分别求 $k$。

✅【答案】

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(1) $(3,0)$

(2) $x^2+y^2-3x=0\left(\frac{5}{3}<x⩽3\right)$

(3) 存在，$k\in \left[-\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{2\sqrt{5}}{7}\right]\cup \left\{-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 配方：$(x-3{)}^2+y^2=4$，圆心 $C_1(3,0)$，半径 $r=2$。

（2） 由垂径定理，$C_{1}M\perp AB$；又 $M$ 在过原点的直线 $l$ 上，即 $O$、$M$、$A$、$B$ 共线，故 $OM\perp C_{1}M$，$M$ 在以 $O{C}_1$ 为直径的圆上：${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}$，即 $x^2+y^2-3x=0$。

定范围：设 $M(x,y)$ 在直线 $OM:y=kx$ 上，则 $M$ 是 $C_1$ 在该方向的垂足，$x=\frac{3}{1+k^2}$。$l$ 与圆相交于不同两点 $⟺$ 圆心到 $l$ 的距离 \dfrac{3|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}<2$$\iff k^{2}<\dfrac{4}{5}，于是 $1+k^2<\frac{9}{5}$，$x>\frac{5}{3}$；又 $x⩽3$（圆的最右点）。故 $C$：$x^2+y^2-3x=0\left(\frac{5}{3}<x⩽3\right)$。

（3） $L$ 过定点 $(4,0)$，在圆 $C$ 外部。

情形一：相切。圆心 $\left(\frac{3}{2},0\right)$，半径 $\frac{3}{2}$，$\frac{|k\cdot \frac{3}{2}-0-4k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{3}{2}$，即 $\frac{\frac{5}{2}|k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{3}{2}$，$6.25k^2=2.25(1+k^2)$，$k^2=\frac{9}{16}$，$k=\pm \frac{3}{4}$。

情形二：一个交点落在弧外。$L$ 代入圆 $x^2+y^2-3x=0$：

$(1+k^2)x^2-(8k^2+3)x+16k^2=0$。设两根 $x_1⩽x_2$，“恰一交点在弧上” $⟺x_2\in \left(\frac{5}{3},3\right]$ 且 $x_1⩽\frac{5}{3}$。

临界：$x=\frac{5}{3}$ 时 $(1+k^2)\cdot \frac{25}{9}-(8k^2+3)\cdot \frac{5}{3}+16k^2=0$，化简得 $-\frac{20}{9}+\frac{49}{9}{k}^2=0$，$k=\pm \frac{2\sqrt{5}}{7}$。

当 $|k|<\frac{2\sqrt{5}}{7}$ 时（如 $k=0$：根为 $x=0$ 与 $x=3$，仅 $x=3$ 在弧上），小根 $x_1⩽\frac{5}{3}$、大根 $x_2\in \left(\frac{5}{3},3\right]$，恰一交点；当 $\frac{2\sqrt{5}}{7}<|k|<\frac{3}{4}$ 时两根都落在弧上（两交点），不符合。

综上，$k\in \left[-\frac{2\sqrt{5}}{7},\frac{2\sqrt{5}}{7}\right]\cup \left\{-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程与标准方程；垂径定理与轨迹；直线与圆的位置关系

核心方法：“直角所对即直径圆”定轨迹；运动范围裁剪轨迹；“切 + 弧外”两情形计数交点

避坑指南：（1）轨迹不是完整圆：$M$ 只能取”垂足”，$x\in \left(\frac{5}{3},3\right]$，漏写范围是本题最常见扣分点；（2）第（3）问”只有一个交点”有两类：相切 $k=\pm \frac{3}{4}$ 与”一交点在弧外”$|k|⩽\frac{2\sqrt{5}}{7}$，只答相切会丢半截分；（3）临界值 $x=\frac{5}{3}$ 对应弧的开端点，$k=\pm \frac{2\sqrt{5}}{7}$ 时大根恰在端点处不取，但小根 $=\frac{5}{3}$、大根在弧内，交点数仍为 1，故端点取得到（闭区间）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“弦中点轨迹 + 含参数直线交点个数”是直线与圆综合大题的高阶形态，2015 广东卷把它放在第 20 题，考点密度高但每一步都是经典方法。

结论推广：若 $l$ 改为过定点 $(0,1)$，轨迹变为以 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ 为直径端点的圆，方法链完全相同——“定点 $O^{\prime }$ 与圆心连线为直径”这一结论适用于一切”过定点的弦中点”问题。

方法推广：交点个数问题的标准清单：① 相切（判别式 $=0$ 或 $d=r$）；② 端点/弧外裁剪（把范围临界点代入检验）。两条都要过一遍才不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-广东卷理-20 解-圆的方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2013年广东卷理-20