2015-新课标I卷文-07 单-等差数列

本题导读

等差数列基本量题：把 $S_8=4S_4$ 化成 $a_1$ 的方程解出 $a_1$，再写 $a_{10}$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差为 1 的等差数列，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_8=4S_4$，则 $a_{10}=$ ()

A. $\frac{17}{2}$　　　　　　B. $\frac{19}{2}$　　　　　　C. $10$　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，$d=1$。
2. 代入 $S_8=4S_4$ 解 $a_1$，再求 $a_{10}=a_1+9$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列求和公式（$d=1$）：

$S_8=8a_1+28,S_4=4a_1+6.$

由 $S_8=4S_4$ 得 $8a_1+28=16a_1+24$，解得 $a_1=\frac{1}{2}$.

所以 $a_{10}=a_1+9d=\frac{1}{2}+9=\frac{19}{2}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的求和公式与通项公式（基本量法）。

2. 核心方法：“知 $d$ 求 $a_1$“：所有条件都化成 $a_1$ 与 $d$ 的方程。

3. 避坑指南：$S_8$ 展开是 $8a_1+\frac{8\times 7}{2}\times 1=8a_1+28$，系数 28 别算成 24 或 32。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等差数列基本量法是数列板块的第一类题，全国卷几乎每年都以不同面貌出现。

2. 结论推广: 若把条件改为 $S_8=2S_4$，则 $8a_1+28=8a_1+24$ 矛盾——说明”倍数条件”对 $a_1$ 是否可解取决于倍数大小，可用来命制”无解判定”题。

3. 方法推广: 等差（比）数列一切问题先回到基本量 $a_1,d(q)$，列出方程组即破。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-17