2015-新课标I卷文-14 填-导数切线

本题导读

“切线过曲线外一点”模型：切点 $(1,f(1))$ 的导数给出斜率，与”过 $(2,7)$“的两点斜率相等，解出 $a$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+x+1$ 的图象在点 $(1,f(1))$ 处的切线过点 $(2,7)$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$，切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=3a+1$。
2. 切点 $(1,a+2)$，过 $(2,7)$：$k=\frac{7-(a+2)}{2-1}=5-a$。
3. $3a+1=5-a$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$，故切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=3a+1$；切点坐标为 $(1,a+2)$.

切线过点 $(2,7)$，由两点斜率公式

$k=\frac{7-(a+2)}{2-1}=5-a.$

由导数的几何意义 $3a+1=5-a$，解得 $a=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义；常见函数的导数；直线斜率公式。

2. 核心方法：“切点处导数 = 切线斜率”，“过点型”切线把切点坐标设出来双线合流。

3. 避坑指南：“在点 $(1,f(1))$ 处的切线”切点已定，直接用；若题面是”过点 $(1,\cdot )$ 的切线”则切点要另设——两种表述一字之差，做法不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：导数几何意义求切线是导数板块的第一考点，全国卷在小题与大题中反复出现（2014 年新课标Ⅰ理 21 题即为切线+单调性综合）。

2. 结论推广: 若切线过点 $(2,7)$ 改为 $(0,7)$，则 $5$……斜率变为 $\frac{7-(a+2)}{0-1}=a-5$，方程 $3a+1=a-5$ 解得 $a=-3$。

3. 方法推广: 切线问题的两个模板：① “在某点处的切线”：切点即该点；② “过某点的切线”：设切点 $(t,f(t))$，联立”斜率相等 + 点在切线上”两个方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2015-新课标I卷理-21 解-切线方程