2015-新课标I卷文-17 解-解三角形

本题导读

解三角形常规题。条件 ${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C$ 全是角，用正弦定理化成边的关系 $b^2=2ac$，两问分别在特殊条件下收口。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知 $a,b,c$ 分别是 $△ABC$ 内角 $A,B,C$ 的对边，${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C$.

(1) 若 $a=b$，求 $\cos B$；

(2) 若 $B=90^{\circ }$，且 $a=\sqrt{2}$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 正弦定理：${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C⟺b^2=2ac$。
2. （1）$a=b$ 代入得 $c=\frac{a}{2}$，余弦定理求 $\cos B$。
3. （2）$B=90^{\circ }$ 时 $b^2=a^2+c^2$ 与 $b^2=2ac$ 联立定形。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{4}$

(2) $1$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C$ 等价于

$b^2=2ac.(\ast )$

（1） 将 $a=b$ 代入 $(\ast )$：$a^2=2ac\Rightarrow c=\frac{a}{2}$.

由余弦定理

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+\frac{a^2}{4}-a^2}{2a\cdot \frac{a}{2}}=\frac{\frac{a^2}{4}}{a^2}=\frac{1}{4}.$

（2） $B=90^{\circ }$ 时 $b^2=a^2+c^2$，结合 $(\ast )$：$a^2+c^2=2ac\Rightarrow (a-c{)}^2=0\Rightarrow a=c$.

故 $△ABC$ 是等腰直角三角形，$a=c=\sqrt{2}$，

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=1.$

故 $△ABC$ 的面积为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理；勾股定理与三角形面积。

2. 核心方法：“齐次角条件 → 正弦定理化边”是解三角形第一反应；后续全部交给余弦定理与面积公式。

3. 避坑指南：① （1）中 $b=a$ 时 $c=\frac{a}{2}$，别想当然认为三角形等边；② （2）中”$a=c$ 等腰直角”由两个平方关系联立得到，须完整写出因式分解 ${\left(a-c\right)}^2=0$ 这一步，不能直接下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形解答题全国卷文理共用一个位置（第 17 题前后），“单一齐次条件 + 两问递进”是标准配置。

2. 结论推广: 若把条件改为 $\sin B=2\sin A\sin C$（少一个平方），则化边为 $b^2=2ac$，与本题殊途同归——平方条件的本质是正弦定理的齐次性。

3. 方法推广: 解三角形决策树：条件全角 → 正弦定理化边；条件边角混合 → 按需选正弦或余弦定理；最后目标无非是”角”或”面积”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-4
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理