2013-新课标I卷文-10 单-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知锐角 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$23{\cos }^{2}A+\cos 2A=0$，$a=7$，$c=6$，则 $b=$()

A. $10$　　　　　　　B. $9$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$，代入得 $25{\cos }^{2}A=1$，$A$ 为锐角故 $\cos A=\frac{1}{5}$。
2. 由 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 列方程求 $b$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$，条件化为 $23{\cos }^{2}A+2{\cos }^{2}A-1=0⟹25{\cos }^{2}A=1⟹\cos A=\frac{1}{5}(\text{锐角}).$ 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$： $49=b^2+36-2\times b\times 6\times \frac{1}{5}=b^2+36-\frac{12}{5}b,$ 即 $5b^2-12b-65=0$，解得 $b=5$ 或 $b=-\frac{13}{5}$（舍去），故 $b=5$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理

核心方法：二倍角公式化同名解方程、余弦定理求边

避坑指南：$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$ 是化归的关键；解出的两根要按”边长为正”取舍，负根舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形中的二倍角与余弦定理。

结论推广：$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=1-2{\sin }^{2}A$，随目标选择形式。

方法推广：“先由三角恒等式定角、再由余弦定理定边”是解三角形最标准的组合拳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-17 解-解三角形
• 2014-新课标II卷文-17 解-解三角形四边形