2015-新课标I卷文-19 解-回归分析

本题导读

统计大题。（1）散点图递增变缓 → 选 $y=c+d\sqrt{x}$；（2）令 $w=\sqrt{x}$ 化线性回归，套最小二乘公式；（3）代入预报 + 二次函数求最值。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位：t）和年利润 $z$（单位：千元）的影响. 对近 8 年的年宣传费 $x_i$ 和年销售量 $y_i$（$i=1,2,\cdots ,8$）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\bar{w}$ | $\sum _{i=1}^8(x_i-\bar{x}{)}^2$ | $\sum _{i=1}^8(w_i-\bar{w}{)}^2$ | | $46.6$ | $563$ | $6.8$ | $289.8$ | $1.6$ |

| $\sum _{i=1}^8(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ | $\sum _{i=1}^8(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})$ | | $1.469$ | $108.8$ |

表中 $w_i=\sqrt{x_i}$，$\bar{w}=\frac{1}{8}\sum _{i=1}^8{w}_i$.

(1) 根据散点图判断，$y=a+bx$ 与 $y=c+d\sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3) 已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x,y$ 的关系为 $z=0.2y-x$. 根据(2)的结果回答下列问题：

（i）年宣传费 $x=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据 $(u_1,v_1),(u_2,v_2),\cdots ,(u_n,v_n)$，其回归直线 $v=\alpha +\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{\beta }=\frac{\sum _{i=1}^n(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}{\sum _{i=1}^n(u_i-\bar{u}{)}^2}$，$\hat{\alpha }=\bar{v}-\hat{\beta }\bar{u}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）散点图”上升且越来越平缓”，与 $\sqrt{x}$ 的增长形态吻合。
2. （2）令 $w=\sqrt{x}$：$\hat{d}=\frac{108.8}{1.6}=68$，$\hat{c}=563-68\times 6.8=100.6$。
3. （3）① 代 $x=49$（$\sqrt{49}=7$）；② $z=0.2\hat{y}-x$ 化为 $t=\sqrt{x}$ 的二次函数。

✅【答案】

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(1) $y=c+d\sqrt{x}$ 适宜

(2) $\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}$

(3) （i）年销售量预报值 $576.6$ t，年利润预报值 $66.32$ 千元；（ii）$x=46.24$ 千元时年利润预报值最大

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由散点图知，散点分布在一条上升且增长速度逐渐变缓的曲线附近，与 $y=\sqrt{x}$ 的形态一致，而 $y=a+bx$ 增长速率恒定. 故 $y=c+d\sqrt{x}$ 适宜作为回归方程类型.

（2） 令 $w=\sqrt{x}$，则 $y=c+dw$，$y$ 与 $w$ 呈线性相关. 由最小二乘公式

$\hat{d}=\frac{\sum _{i=1}^8(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})}{\sum _{i=1}^8(w_i-\bar{w}{)}^2}=\frac{108.8}{1.6}=68,$

$\hat{c}=\bar{y}-\hat{d}\bar{w}=563-68\times 6.8=\mathrm{100.6.}$

故 $y$ 关于 $w$ 的回归方程为 $\hat{y}=100.6+68w$，即 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为

$\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}.$

（3）（i） $x=49$ 时，$\sqrt{x}=7$，

$\hat{y}=100.6+68\times 7=576.6(\text{t}),\hat{z}=0.2\times 576.6-49=66.32(\text{千元}).$

（ii） 将 $\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}$ 代入 $z=0.2y-x$：

$z=0.2(100.6+68\sqrt{x})-x=20.12+13.6\sqrt{x}-x.$

令 $t=\sqrt{x}(t⩾0)$，则 $z=-t^2+13.6t+20.12$，开口向下，对称轴 $t=\frac{13.6}{2}=6.8$.

故当 $t=6.8$，即 $x=6.8^2=46.24$（千元）时，年利润的预报值最大.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：散点图与回归方程类型的选择；非线性回归的线性化（换元）；最小二乘估计；二次函数求最值。

2. 核心方法：“换元化线性”是非线性回归的唯一钥匙；预报与最值都是代入运算。

3. 避坑指南：① $\hat{\beta }$ 的分子分母都要用换元后的 $w$ 的数据（$1.6$ 与 $108.8$），错用 $x$ 的数据（$289.8$ 与 $1.469$）就南辕北辙——$1.469$ 是干扰数据；② （ii）中最值点 $t=6.8$ 必须还原成 $x=t^2=46.24$，答 $t=6.8$ 扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题与 2015 年新课标Ⅰ理 19 题完全同题（文理同题），是”非线性回归”进入全国卷的标志性题目，此后换元化归成为回归大题的标配动作。

2. 结论推广: 若利润关系改为 $z=0.2y-kx$，则 $z=-t^2+(13.6-k)t+20.12$，最优 $x={\left(\frac{13.6-k}{2}\right)}^2$，$k$ 增大时最优宣传费减小，符合经营直觉。

3. 方法推广: 非线性回归大题通用流程：识图选型 → 换元化线性 → 最小二乘求系数 → 回代原变量 → 预报/最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

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