2012-福建卷文-18 解-回归直线与利润最值

本题导读

本题考查线性回归方程。核心在于配方法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

| 单价 $x$（元） | $8$ | $8.2$ | $8.4$ | $8.6$ | $8.8$ | $9$ | | 销量 $y$（件） | $90$ | $84$ | $83$ | $80$ | $75$ | $68$ |

(1)求回归直线方程 $\hat{y}=bx+a$，其中 $b=-20$，$a=\bar{y}-b\bar{x}$；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 $4$ 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）

🔍【思路分析】

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（1）$\bar{x}=8.5$，$\bar{y}=80$，$a=250$，$\hat{y}=-20x+250$；（2）$L(x)=(x-4)(-20x+250)$ 在 $x=8.25$ 处最大。

✅【答案】

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(1)$\hat{y}=-20x+250$；(2)单价应定为 $8.25$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\bar{x}=\frac{8+8.2+8.4+8.6+8.8+9}{6}=8.5$，$\bar{y}=\frac{90+84+83+80+75+68}{6}=80$。

故 $a=\bar{y}-b\bar{x}=80-(-20)\times 8.5=80+170=250$，回归直线方程为 $\hat{y}=-20x+250$。

（2）设单价为 $x$ 元，则预计销量为 $-20x+250$ 件，利润

$L(x)=(x-4)(-20x+250)=-20x^2+330x-1000=-20{\left(x-\frac{33}{4}\right)}^2+\frac{1445}{4}$。

因二次项系数为负，当 $x=\frac{33}{4}=8.25$ 时 $L(x)$ 取最大值。

故单价应定为 $8.25$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归直线方程过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$；二次函数模型求最值

核心方法：先算两组均值，用 $a=\bar{y}-b\bar{x}$ 定截距；利润 =（单价 − 成本）× 销量，配方求顶点

避坑指南：回归方程算完可代一个样本点粗验方向（$x$ 越大 $\hat{y}$ 越小）；定价必须在试销范围附近有意义，$8.25$ 元恰在 $[8,9]$ 内；$-\frac{330}{2\times (-20)}=\frac{33}{4}=8.25$，别把符号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归与应用最值综合题，与 2013 年重庆卷文第 17 题、2015 年新课标Ⅰ文第 19 题同族。

结论推广：回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 恒过 $(\bar{x},\bar{y})$；利润函数 $L(x)=(x-c)(kx+m)$ 为开口向下的二次函数。

方法推广：统计应用题两段式：先由数据定方程，再把方程当作现实模型代入优化目标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2015-新课标I卷文-19 解-回归分析