2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

几何证明选讲。（1）斜边中线 $DE=DC$ 与半径 $OE=OB$ 各自”转移”一个角，凑出 $\angle OED=90^{\circ }$；（2）设 $CE=1$，用射影定理与勾股定理解出各线段长，$\tan \angle ACB=\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，$BC$ 交 $\odot O$ 于点 $E$.

(1) 若 $D$ 为 $AC$ 的中点，证明：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线；

(2) 若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. （1）连 $AE$：直径 $\Rightarrow AE\perp BC$；切线 $\Rightarrow AC\perp AB$。$D$ 为斜边 $AC$ 中点 $\Rightarrow DE=DC$；连 $OE$ 得 $\angle OEB=\angle OBE$，角角叠加凑 $\angle OED=90^{\circ }$。
2. （2）$OA=\sqrt{3}\Rightarrow CE=1$、$AB=2\sqrt{3}$；设 $BE=x$，用 $A{C}^2=CE\cdot CB$ 与 $A{E}^2=CE\cdot BE$ 解 $x$，最后 $\tan \angle ACB$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 连结 $AE$. 由 $AB$ 为直径得 $AE\perp BC$；由 $AC$ 为切线得 $AC\perp AB$.

在 $\mathrm{Rt}△AEC$ 中，$D$ 为斜边 $AC$ 的中点，故 $DE=DC=DA$，从而 $\angle DEC=\angle DCE$.

连结 $OE$，由 $OB=OE$ 得 $\angle OEB=\angle OBE$.

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle ACB+\angle ABC=90^{\circ }$，即

$\angle DEC+\angle OEB=90^{\circ },$

从而 $\angle OED=180^{\circ }-(\angle DEC+\angle OEB)=90^{\circ }$，即 $OE\perp DE$，又 $OE$ 为半径，故 $DE$ 是 $\odot O$ 的切线.

（2） 设 $CE=1$，由 $OA=\sqrt{3}CE$ 及 $OA=\sqrt{3}$ 得 $AB=2\sqrt{3}$，$CE=1$.

$△ABC$ 为直角三角形（$\angle BAC=90^{\circ }$），$AE$ 是斜边上的高，由射影定理

$A{C}^2=CE\cdot CB,A{E}^2=CE\cdot BE.$

设 $BE=x$，则 $A{C}^2=x+1$，$A{E}^2=x$. 由 $A{C}^2=A{E}^2+C{E}^2$：$x+1=x+1$（相容），改用 $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$：

$(x+1{)}^2=12+(x+1)⟹x^2+x-12=0⟹x=3.$

于是 $BC=4$，$A{C}^2=4\Rightarrow AC=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，

$\tan \angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}⟹\angle ACB=60^{\circ }.$

（2 的另解） 由 $A{E}^2=CE\cdot BE=3$ 得 $AE=\sqrt{3}$，$\mathrm{Rt}△AEC$ 中 $\tan \angle ACE=\frac{AE}{CE}=\sqrt{3}$，同样得 $\angle ACB=60^{\circ }$，更快.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线的判定与性质；圆周角定理；直角三角形中的斜边中线与射影定理。

2. 核心方法：“半径相等 → 等腰 → 角的转移”是切线证明的标准装配线；计算问用射影定理设量。

3. 避坑指南：① （1）中”半径 $OE\perp DE$“是切线判定的必要表述，漏掉”$OE$ 为半径”不完整；② （2）中 $\angle ACB$ 的对边是 $AB$（不是 $BC$），正切比值别写倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：几何证明选讲（选修 4-1）在旧课标全国卷中固定为选考三题之一，切线 + 射影定理是其最高频配置，2016 年起随选考模块退出而消失。

2. 结论推广: 若把 $OA=\sqrt{3}CE$ 改为 $OA=2CE$，同法得 $CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan \angle ACB=\frac{AB}{AC}$ 随之改变——命题人调节”角度答案”的旋钮正是这个比例。

3. 方法推广: 圆的证明题工具箱：见直径想直角、见切线连半径、见中点想斜边中线、算长度用射影定理 $A{E}^2=BE\cdot CE$、$A{C}^2=CE\cdot CB$、$A{B}^2=BE\cdot BC$ 三件套。

🔗【关联脉络】

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