2015-新课标I卷理-02 单-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与两角和的正弦公式。通过将钝角转化为锐角，构造出标准的和角公式结构，考查学生对基本恒等变换的熟练程度。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） $\sin 20^{\circ }\cos 10^{\circ }-\cos 160^{\circ }\sin 10^{\circ }=$ ()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：原式呈现 $\sin A\cos B\pm \cos C\sin B$ 的形式，目标是转化为两角和与差的正弦公式 $\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$。
2. 诱导公式变换：发现 $160^{\circ }$ 是钝角，利用诱导公式 $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ 将其转化为 $20^{\circ }$ 的相关函数。
3. 公式求值：代入特殊角的三角函数值得出结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 运用诱导公式： $\cos 160^{\circ }=\cos (180^{\circ }-20^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$

2. 代入原式： 原式 $=\sin 20^{\circ }\cos 10^{\circ }-(-\cos 20^{\circ })\sin 10^{\circ }$ 原式 $=\sin 20^{\circ }\cos 10^{\circ }+\cos 20^{\circ }\sin 10^{\circ }$

3. 运用两角和的正弦公式： 根据 $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$： 原式 $=\sin (20^{\circ }+10^{\circ })=\sin 30^{\circ }$

4. 计算结果： $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

最终答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 诱导公式口诀： “奇变偶不变，符号看象限”。对于 $180^{\circ }-\alpha$，函数名不变，且 $160^{\circ }$ 在第二象限，余弦值为负。
2. 公式逆用：高考中常考查和差角公式的逆向使用，即给出一个展开式，要求学生识别并合并。
3. 符号细节：负负得正的过程是本题唯一的易错点，务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若式子满足 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =1$，则 $\alpha +\beta =2k\pi +\frac{\pi }{2}$。对于此类题目，核心在于统一角度。
• 方法推广:
  • 辅助角公式：对于 $a\sin \alpha +b\cos \alpha$ 型式子，可转化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\phi )$。
• 相关知识点:
  • 两角和与差的余弦公式：$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$。
  • 特殊角三角函数表：熟记 $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ 的精确值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2014-江西卷理-17 解-两角和差公式
• 2015-四川卷理-12 填-两角和差
• 2015-湖北卷理-12 填-二倍角公式