2015-新课标I卷理-10 单-二项式定理

本题导读

本题考查三项式展开式中特定项系数的求解。核心思路是将三项式转化为二项式，通过嵌套使用二项式通项公式，锁定目标项的指数关系并计算组合数。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） $(x^2+x+y{)}^5$ 的展开式中，$x^5{y}^2$ 的系数为 ()

A. 10　　　　　　　B. 20　　　　　　　C. 30　　　　　　　D. 60

🔍【思路分析】

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1. 结构转化：将三项式 $(x^2+x+y{)}^5$ 看作二项式 $[(x^2+x)+y{]}^5$。
2. 第一次展开：写出关于 $y$ 的展开式通项，根据目标项中 $y^2$ 确定 $y$ 的幂次。
3. 第二次展开：在含 $y^2$ 的那一项中，对 $(x^2+x{)}^k$ 再次进行二项式展开，根据目标项中 $x^5$ 确定 $x$ 的分配比例。
4. 计算系数：将两次展开产生的组合数相乘即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：锁定 $y$ 的幂次

将 $(x^2+x+y{)}^5$ 看作 $[(x^2+x)+y{]}^5$。其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r(x^2+x{)}^{5-r}{y}^r$ 目标项为 $x^5{y}^2$，对比 $y$ 的指数可知 $r=2$。 此时对应的项为：$C_5^2(x^2+x{)}^3{y}^2=10(x^2+x{)}^3{y}^2$。

第二步：锁定 $x$ 的幂次

现在需要求 $(x^2+x{)}^3$ 展开式中 $x^5$ 的系数。 设 $(x^2+x{)}^3$ 的展开式通项为： $T_{k+1}=C_3^k(x^2{)}^{3-k}{x}^k=C_3^k{x}^{6-2k}{x}^k=C_3^k{x}^{6-k}$ 令 $x$ 的指数 $6-k=5$，解得 $k=1$。 此时对应的系数为 $C_3^1=3$。

第三步：综合计算

综上所述，$x^5{y}^2$ 项的系数为两次展开系数的乘积： 系数 $=C_5^2\times C_3^1=10\times 3=30$。

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多项式转化：处理 $(a+b+c{)}^n$ 这种形式，最稳妥的方法是“分组嵌套”，即将其中两项看作整体。
2. 通项公式应用：熟练掌握 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解此类题目的基本功。
3. 避坑指南：注意 $x^2$ 的系数也是 1，如果原式是 $(2x^2+x+y{)}^5$，则在第二次展开时还需乘上 $2^{3-k}$ 的幂次。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于三项式展开式 $(a+b+c{)}^n$ 中 $a^{n_1}{b}^{n_2}{c}^{n_3}$（其中 $n_1+n_2+n_3=n$）的系数，可直接利用多项式定理公式： $\text{系数}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$ 本题中，若设 $x^2$ 的次数为 $n_1$，$x$ 的次数为 $n_2$，$y$ 的次数为 $n_3$。 由指数关系得：$2n_1+n_2=5$ 且 $n_3=2$。 由次数总和得：$n_1+n_2+n_3=5⟹n_1+n_2=3$。 解方程组得 $n_1=2,n_2=1$。 系数 $=\frac{5!}{2!1!2!}=\frac{120}{2\times 1\times 2}=30$。
• 方法推广:
  • 赋值法：若求所有项系数之和，令 $x=1,y=1$。
• 相关知识点:
  • • 多项式分布：在组合数学和概率论中，多项式系数具有重要的背景意义。

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