2015-新课标I卷理-19 解-线性回归

本题导读

本题考查非线性回归模型的建立、回归方程的求解以及回归模型的预测应用。通过变量换元将非线性模型转化为线性模型，并结合利润函数考查二次函数求最值的方法，是一道贴近实际生活的统计应用题。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位：t）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_i$ 和年销售量 $y_i$（$i=1,2,\dots ,8$）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\bar{w}$ | ${\sum }_{i=1}^8(x_i-\bar{x}{)}^2$ | ${\sum }_{i=1}^8(w_i-\bar{w}{)}^2$ | ${\sum }_{i=1}^8(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ | ${\sum }_{i=1}^8(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})$ | | 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |

表中 $w_i=\sqrt{x_i}$，$\bar{w}=\frac{1}{8}{\sum }_{i=1}^8{w}_i$.

(1) 根据散点图判断，$y=a+bx$ 与 $y=c+d\sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3) 已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x,y$ 的关系为 $z=0.2y-x$.根据(2)的结果回答下列问题： (i) 年宣传费 $x=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ii) 年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：观察散点图，$y$ 随 $x$ 增加而增加，但增加速度逐渐变慢（曲线呈“下凸”或“趋缓”趋势），这符合平方根函数（根号模型）的特征。
2. 第二问：令 $w=\sqrt{x}$，将原方程转化为线性回归模型 $y=c+dw$。利用表中提供的 $\bar{w},\bar{y}$ 及偏差平方和、偏差乘积和，带入最小二乘法公式计算 $d$ 和 $c$。
3. 第三问：
   • (i) 代入 $x=49\Rightarrow w=7$，求得 $\hat{y}$，再代入 $z=0.2y-x$ 求得 $\hat{z}$。
   • (ii) 将 $\hat{y}$ 的表达式代入 $z=0.2y-x$，整理出关于 $\sqrt{x}$ 的二次函数，利用配方法或顶点公式求最值。

✅【答案】

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所以，当年宣传费为 46.24 千元 时，年利润的预报值最大

✍【详细解析】

Abstract

(1) 判断回归模型类型 根据散点图，数据点分布在一条增长趋于平缓的曲线附近，因此 $y=c+d\sqrt{x}$ 更适宜。

(2) 建立回归方程 令 $w=\sqrt{x}$，则 $y$ 关于 $w$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{c}+\hat{d}w$。

1. 计算斜率 $\hat{d}$： $\hat{d}=\frac{{\sum }_{i=1}^8(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^8(w_i-\bar{w}{)}^2}=\frac{108.8}{1.6}=68$
2. 计算截距 $\hat{c}$： $\hat{c}=\bar{y}-\hat{d}\bar{w}=563-68\times 6.8=563-462.4=100.6$ 故 $y$ 关于 $w$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=100.6+68w$。 还原得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为：$\hat{y}=100.6+68\sqrt{x}$。

(3) 预报值与最值计算 (i) 当 $x=49$ 时： $w=\sqrt{49}=7$。 年销售量的预报值 $\hat{y}=100.6+68\times 7=100.6+476=576.6$ (t)。 年利润的预报值 $\hat{z}=0.2\times 576.6-49=115.32-49=66.32$ (千元)。

(ii) 求利润最大值： 年利润的预报值表达式为： $\hat{z}=0.2(100.6+68\sqrt{x})-x=20.12+13.6\sqrt{x}-x$。 令 $t=\sqrt{x}$ ($t>0$)，则 $z(t)=-t^2+13.6t+20.12$。 这是一开口向下的二次函数，当 $t=-\frac{b}{2a}=\frac{-13.6}{2\times (-1)}=6.8$ 时，$\hat{z}$ 取得最大值。 此时 $\sqrt{x}=6.8\Rightarrow x=6.8^2=46.24$。 所以，当年宣传费为 46.24 千元 时，年利润的预报值最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型转换：回归分析中，非线性模型（根号、指数、对数）通常通过变量置换（换元）转化为线性模型处理。
2. 公式应用：$\hat{b}=\frac{L_{xy}}{L_{xx}}$，准确代入统计量表中的数值是这类题目得分的关键。
3. 二次函数最值：本题将统计与代数最值结合。注意 $x=(\sqrt{x}{)}^2$ 的代换，这是将利润函数转化为二次函数的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若回归模型为 $y=a\cdot e^{bx}$，则两边取对数 $\ln y=\ln a+bx$ 转化为线性回归。
• 方法推广:
  • 决定系数 $R^2$：用来衡量回归方程的拟合效果，$R^2$ 越接近 1，模型拟合越好。
• 相关知识点:

  • - **最小二乘法原则**：即使残差平方和 $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ 最小。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练(Links)

• 2014-辽宁卷理-14 填-几何概型
• 2025-上海卷-17 解-统计综合
• 2023-新高考I卷-21 解-概率递推