2015-新课标II卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

几何证明选讲。第一问用”等腰 + 相切”的对称性一步得证；第二问是”切线长 + 弦长”联手定半径，再用相似把梯形各量算全。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 如图，$O$ 为等腰三角形 $ABC$ 内一点，$\odot O$ 与 $△ABC$ 的底边 $BC$ 交于 $M,N$ 两点，与底边上的高 $AD$ 交于点 $G$，且与 $AB,AC$ 分别相切于 $E,F$ 两点.

(1) 证明：$EF\parallel BC$；

(2) 若 $AG$ 等于 $\odot O$ 的半径，且 $AE=MN=2\sqrt{3}$，求四边形 $EBCF$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）由 $AB=AC$ 与 $AD$ 是底边上的高，$AD$ 是对称轴；圆与 $AB,AC$ 相切，圆心必在 $AD$ 上，故 $E,F$ 关于 $AD$ 对称，$AE=AF$。
2. $△AEF$ 与 $△ABC$ 都是等腰三角形且共顶角，由”两腰成比例 + 夹角相同”得相似，从而 $EF\parallel BC$。
3. （2）设半径 $r$，由 $AE\perp OE$ 与 $AO=2r$ 用勾股关系求 $r$；再由弦 $MN=2\sqrt{3}$ 求圆心到 $BC$ 的距离；最后用相似求 $EF$ 与梯形的高。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 四边形 $EBCF$ 的面积为 $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $△ABC$ 是等腰三角形（$AB=AC$），$AD$ 是底边 $BC$ 上的高，所以 $AD$ 也是 $\angle BAC$ 的平分线，直线 $AD$ 是图形 $ABC$ 的对称轴。

$\odot O$ 与 $AB$、$AC$ 分别相切于 $E$、$F$，由对称性，圆心 $O$ 在对称轴 $AD$ 上，且 $E$、$F$ 关于 $AD$ 对称，于是

$AE=AF.$

又 $AB=AC$，所以

$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}.$

在 $△AEF$ 与 $△ABC$ 中，$\angle EAF=\angle BAC$（公共角），且夹这个角的两边成比例，故 $△AEF\sim △ABC$，从而 $\angle AEF=\angle ABC$，得

$EF\parallel BC.$

（2） 设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $AG=r$. 由 $AE$ 与 $\odot O$ 相切于 $E$ 知 $OE\perp AB$，故 $△AEO$ 为直角三角形。

因为 $O$ 在 $AD$ 上，$G$ 在 $AD$ 上且在 $A$ 与 $O$ 之间（$AG=r<AO$），所以

$AO=AG+GO=r+r=2r.$

在 $\mathrm{Rt}△AEO$ 中，由勾股定理：

$A{E}^2+O{E}^2=A{O}^2⟹(2\sqrt{3}{)}^2+r^2=(2r{)}^2,$

即 $12+r^2=4r^2$，解得 $r^2=4$，$r=2$.

于是 $AO=4$，$OE=OF=2$.

又 $MN$ 是 $\odot O$ 被直线 $BC$ 截得的弦，$AD\perp BC$，设 $AD$ 与 $BC$ 交于 $D$，则 $O$ 到 $BC$ 的距离为 $OD$，由弦长公式：

$MN=2\sqrt{r^2-O{D}^2}⟹2\sqrt{3}=2\sqrt{4-O{D}^2}⟹OD=1.$

故

$AD=AO+OD=4+1=5.$

由 $AE\perp OE$，$\sin \angle EAO=\frac{OE}{AO}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，得 $\angle EAO=30^{\circ }$，即 $\angle BAD=30^{\circ }$.

在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中：$BD=AD\tan 30^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，所以 $BC=2BD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$；又 $AB=\frac{AD}{\cos 30^{\circ }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$，故 $△ABC$ 为等边三角形。

因为 $△AEF\sim △ABC$，相似比为

$\frac{AE}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{5},$

所以

$EF=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}\times \frac{10\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3},$

且 $△AEF$ 中 $A$ 到 $EF$ 的距离为 $\frac{3}{5}AD=\frac{3}{5}\times 5=3$，故梯形 $EBCF$ 的高为

$AD-3=5-3=2.$

于是四边形 $EBCF$（以 $EF$、$BC$ 为两底的梯形）的面积为

$S=\frac{1}{2}(EF+BC)\times 2=EF+BC=2\sqrt{3}+\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线性质与切线长；等腰三角形的对称性；圆的弦长公式；相似三角形与梯形面积。

2. 核心方法：“等腰 + 两腰相切 $\Rightarrow$ 圆心在对称轴上”是本题的破题关键；第二问则靠”切线给勾股、弦长给弦心距、相似给线段比”三件工具联手。

3. 避坑指南：① 证明 $EF\parallel BC$ 时要走”相似”，不要只凭图形直观；② 求 $OD$ 时用的是弦长公式 $MN=2\sqrt{r^2-d^2}$，别与弦心距的平方关系写反；③ 梯形的高是 $AD$ 减去 $△AEF$ 的高，别直接用 $AD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“圆与三角形相切”的证明选讲题在 2011~2015 年新课标卷中连续出现，考查切线性质、相似与解直角三角形三大工具的组合运用。

2. 结论推广: 本题结论 $△ABC$ 为等边三角形并非巧合：由 $AE=2\sqrt{3}$、$AO=4$ 得 $\angle BAD=30^{\circ }$，故顶角 $60^{\circ }$，与等腰条件一起即定出等边——“两边一角定形状”是平面几何计算题的常见收口方式。

3. 方法推广: 平面几何证明选讲的两段式：① 证明题优先找”对称、相似、共圆”三类关系，且必须有明确的定理依据（切线长定理、弦切角、圆幂定理等）；② 计算题把已知量集中到若干个直角三角形中，用勾股与三角函数”逐段推进”，每步只解一个小三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-22 解-圆的切线
• 2014-新课标II卷理-22 解-切线的性质