2015-新课标II卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的交集运算。首先需要通过解一元二次不等式确定集合 $B$ 的取值范围，再寻找集合 $A$ 中的元素与该范围的公共部分。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 已知集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}$，$B=\{x|(x-1)(x+2)<0\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{-1,0\}$　　　　B. $\{0,1\}$　　　　C. $\{-1,0,1\}$　　　　D. $\{0,1,2\}$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 $B$：解一元二次不等式 $(x-1)(x+2)<0$。利用二次函数图象或“两根之间”的原则确定 $x$ 的范围。
2. 执行交集运算：将集合 $A$ 中的离散元素逐一与集合 $B$ 的区间进行对比，找出落在区间内的所有元素。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 $B$ 对于不等式 $(x-1)(x+2)<0$： 令 $(x-1)(x+2)=0$，得到两个根为 $x_1=1,x_2=-2$。 由于二次项系数为正，且不等号为“$<$”，根据一元二次不等式的解法，解集在两根之间： $-2<x<1$ 所以，集合 $B=\{x|-2<x<1\}$。

第二步：求 $A\cap B$ 已知集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}$。 我们需要找出集合 $A$ 中满足 $-2<x<1$ 的元素：

• 对于 $-2$：$-2$ 不大于 $-2$，不满足；
• 对于 $-1$：$-2<-1<1$，满足；
• 对于 $0$：$-2<0<1$，满足；
• 对于 $1$：$1$ 不小于 $1$，不满足；
• 对于 $2$：$2>1$，不满足。 综上所述，$A\cap B=\{-1,0\}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次不等式的解法；集合交集的含义。
• 核心方法：定义法结合数轴分析。
• 避坑指南：注意不等号是否包含等号。本题中 $B$ 集合的范围是开区间 $(-2,1)$，因此边界值 $-2$ 和 $1$ 均不能计入交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若题目要求 $A\cup B$，则应包含 $A$ 和 $B$ 中的所有元素，即 $\{x|-2\le x\le 2\}$。 *方法推广: 处理“离散集合”与“连续区间”的交集时，逐一列举并判断是最稳妥的方法。

• 相关知识点：二次函数图象、补集运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2015-浙江卷理-1
• 2014-新课标II卷理-01 单-集合交集
• 2013年新课标Ⅱ理-1