2015-新课标II卷理-11 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线离心率的计算。核心在于将几何条件（等腰三角形及其顶角）转化为双曲线上点的坐标，通过将坐标代入标准方程建立参数 $a,b$ 之间的关系。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 已知 $A,B$ 为双曲线 $E$ 的左、右顶点，点 $M$ 在 $E$ 上，$△ABM$ 为等腰三角形，顶角为 $120^{\circ }$，则 $E$ 的离心率为 ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 分析几何结构：设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。顶点为 $A(-a,0),B(a,0)$，则 $|AB|=2a$。
2. 确定顶角位置：在 $△ABM$ 中，由于 $M$ 在双曲线上，且 $A,B$ 在 $x$ 轴上。
   • 若 $\angle AMB=120^{\circ }$，由对称性知 $M$ 在 $y$ 轴上，但这与 $M$ 在双曲线（焦点在 $x$ 轴）上矛盾。
   • 因此，顶角只能是 $\angle MAB$ 或 $\angle MBA$。
   3. 确定 $M$ 点坐标：不妨设顶角为 $\angle MAB=120^{\circ }$，且 $|MA|=|AB|=2a$。利用三角函数求出 $M$ 点的坐标。
3. 建立 $a,b$ 关系：将 $M$ 点坐标代入双曲线方程，求得 $b$ 与 $a$ 的比例，进而利用 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 求离心率。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何参数 设双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。顶点 $A(-a,0),B(a,0)$，$|AB|=2a$。 由题意 $△ABM$ 为等腰三角形且顶角为 $120^{\circ }$。 根据对称性，不妨设 $M$ 在左支上，且顶角为 $\angle MAB=120^{\circ }$。 则有 $|MA|=|AB|=2a$。

第二步：求点 $M$ 坐标 在 $x$ 轴上方找点 $M$。由于 $\angle MAB=120^{\circ }$，直线 $MA$ 与 $x$ 轴负方向的夹角为 $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。 点 $M$ 的横坐标 $x_M=-a-2a\cdot \cos 60^{\circ }=-a-a=-2a$。 点 $M$ 的纵坐标 $y_M=2a\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}a$。 所以 $M(-2a,\sqrt{3}a)$。

第三步：代入方程求解 将 $M(-2a,\sqrt{3}a)$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$： $\frac{(-2a{)}^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{3}a{)}^2}{b^2}=1$ $4-\frac{3a^2}{b^2}=1⟹\frac{3a^2}{b^2}=3⟹a^2=b^2$ 由此得 $b=a$。

第四步：计算离心率 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$ $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线的顶点坐标；离心率定义；等腰三角形的性质。
• 核心方法：坐标法。通过几何特征反推点坐标是解析几何小题的常用套路。
• 避坑指南：必须准确判断 120° 角的位置。如果误设 $\angle AMB=120^{\circ }$，计算会陷入困境。同时注意 $c^2=a^2+b^2$（双曲线）与椭圆的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若等腰三角形 $ABM$ 的底边为 $AB$，顶角为 $\theta$，则离心率 $e$ 满足 $e^2=1+\frac{{\sin }^2\theta }{(1+\cos \theta {)}^2}$（需根据具体夹角位置推导）。

• 相关知识点：等轴双曲线（$a=b$）的离心率为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.09 阿基米德三角形
• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练(Links)

• 2024-上海卷-20 解-双曲线综合
• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2013年天津卷理-5