2015-新课标II卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中目标函数最值的求法。核心在于通过绘制不等式组表示的可行域，平移目标函数直线，寻找使截距最大的顶点坐标。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\ge 0\\ x-2y\le 0\\ x+2y-2\le 0\end{array}$，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：将每一个不等式转化为直线，并根据不等号方向确定平面区域。
   • $L_1:x-y+1=0$
   • $L_2:x-2y=0$
   • $L_3:x+2y-2=0$
2. 目标函数变形：将 $z=x+y$ 变形为直线的斜截式方程 $y=-x+z$。
   • 其中 $z$ 对应直线在 $y$ 轴上的截距。
3. 寻找最值点：由于目标直线的斜率为 $-1$，在坐标系中平移该直线。
   • 观察可行域的顶点，当直线经过可行域最“右上”方的顶点时，$z$ 取得最大值。
4. 计算顶点坐标：联立相关直线方程组求出交点坐标，代入 $z$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：画出可行域 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。其边界交点分别为：

• 联立 $x-y+1=0$ 与 $x-2y=0$ 得顶点 $C(-2,-1)$；

• 联立 $x-y+1=0$ 与 $x+2y-2=0$ 得顶点 $E(0,1)$；

• 联立 $x-2y=0$ 与 $x+2y-2=0$ 得顶点 $D(1,\frac{1}{2})$。

第二步：分析目标函数 目标函数 $z=x+y$ 可化为 $y=-x+z$。 这是一组斜率为 $-1$，随 $z$ 增大而向上平移的平行直线系。

第三步：平移寻找最大值 将直线 $y=-x$ 向上平移，观察图象可知，当直线经过可行域的顶点 $D(1,\frac{1}{2})$ 时，截距 $z$ 取得最大值。

第四步：代入计算 将 $D(1,\frac{1}{2})$ 代入 $z=x+y$： $z_{max}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

故答案为：$\frac{3}{2}$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划的几何意义。截距 $z$ 的正负与目标函数中 $y$ 前的系数有关：若 $y$ 系数为正，则截距大 $z$ 就大；若为负，则截距大 $z$ 变小。
• 核心方法：画、移、求、答四步法。
• 避坑指南：绘制直线时要准确，尤其是斜率的相对大小（如 $-1$ 与 $-1/2,1/2,1$ 的比较），这将决定哪个顶点是最值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $z=ax+by$，若可行域是多边形，最值一定在顶点或边界处取得。 *方法推广: 遇到分式目标函数（如 $z=\frac{y}{x}$），应联想直线的斜率；遇到平方和形式（如 $z=x^2+y^2$），应联想距离的平方。

• 相关知识点：直线的斜率、半平面区域的判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

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