2015-新课标II卷理-18 解-茎叶图

本题导读

本题考查统计茎叶图的制作与分析，以及基于频率估算概率的实际应用。第一问要求通过茎叶图直观比较两组数据的特征；第二问要求利用独立事件与互斥事件的概率公式解决实际问题。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 某公司为了了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62, 73, 81, 92, 95, 85, 74, 64, 53, 76, 78, 86, 95, 66, 97, 78, 88, 82, 76, 89 B 地区：73, 83, 62, 51, 91, 46, 53, 73, 64, 82, 93, 48, 65, 81, 74, 56, 54, 76, 65, 79

(1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不需计算出具体值，给出结论即可）；

(2) 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

| 满意度评分 | 低于 70 分 | 70 分到 89 分 | 不低于 90 分 | | 满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |

记事件 $C$：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 $C$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制茎叶图：将数据按十位数字（茎）和个位数字（叶）进行分类，A 地区叶子向左，B 地区叶子向右。
2. 比较特征：观察数据在茎上的分布位置。A 地区数据重心靠下（分值高），且分布较集中；B 地区重心靠上（分值低），且分布较分散。
3. 概率计算：
   • 确定事件 $C$ 的构成情况：
     • 情况1：A 地区“非常满意”，B 地区“满意”或“不满意”。
     • 情况2：A 地区“满意”，B 地区“不满意”。
   • 利用频率分别计算各等级在两地区的概率：$P=\frac{\text{频数}}{20}$。
   • 利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解。

✅【答案】

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事件 $C$ 的概率为 0.48

✍【详细解析】

Abstract

(1) 制作茎叶图与比较分析 两地区用户满意度评分的茎叶图如下：

结论比较：

• 平均值：从茎叶图可以看出，A 地区的数据主要集中在 70-90 分段，而 B 地区的数据在 40-70 分段分布较多。因此，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区。
• 分散程度：A 地区的数据大多紧凑地分布在 70、80 茎上，而 B 地区的数据从 4 到 9 茎均有分布。因此，A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区比较分散。

(2) 求事件 $C$ 的概率 根据评分标准，统计两地区各等级的用户人数：

• A 地区：不满意（<70）有 4 人；满意（70-89）有 12 人；非常满意（≥90）有 4 人。
• B 地区：不满意（<70）有 10 人；满意（70-89）有 8 人；非常满意（≥90）有 2 人。

设两地区用户满意度等级分别为 $X_A,X_B$。事件 $C$ 包含以下互斥情况：

1. $X_A=\text{非常满意}$ 且 $X_B\in \{\text{满意, 不满意}\}$；
2. $X_A=\text{满意}$ 且 $X_B=\text{不满意}$。

根据频率估算概率： $P(X_A=\text{非常满意})=\frac{4}{20}=0.2$ $P(X_A=\text{满意})=\frac{12}{20}=0.6$ $P(X_B=\text{满意})=\frac{8}{20}=0.4$ $P(X_B=\text{不满意})=\frac{10}{20}=0.5$

则事件 $C$ 的概率为： $P(C)=P(X_A=\text{非常满意})\cdot P(X_B<\text{非常满意})+P(X_A=\text{满意})\cdot P(X_B=\text{不满意})$ 由于 $P(X_B<\text{非常满意})=P(X_B=\text{满意})+P(X_B=\text{不满意})=0.4+0.5=0.9$。 $P(C)=0.2\times 0.9+0.6\times 0.5$ $P(C)=0.18+0.30=0.48$

答案：事件 $C$ 的概率为 0.48。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：茎叶图的绘制与数字特征直观分析；相互独立事件同时发生的乘法公式。
• 核心方法：分类讨论法。在求 $P(C)$ 时，清晰地列举出所有满足“A 高于 B”的情况是解题关键。
• 避坑指南：茎叶图的叶子部分通常要求由小到大排列（虽然本题解析图中未完全要求，但规范作图应如此）。在概率计算中，注意分母是样本总数 20。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 茎叶图能很好地保留原始数据信息，适合样本容量较小的情况。 *方法推广: 遇到“高于”、“多于”等比较概率问题，常通过对立事件 $P(\bar{C})$ 或分类穷举法求解。

• 相关知识点：方差与标准差的含义、二项分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练(Links)

• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2014-江苏卷-22 解-分布列与期望
• 2013年湖北卷理-9