2015-江苏卷-18 解-椭圆性质

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问通过离心率和准线定义确定椭圆基本量；第二问考查直线与椭圆的联立运算、弦长公式及垂直平分线的几何背景，运算量较大。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$ 到左准线 $l$ 的距离为 3.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $AB$ 于点 $P,C$.若 $PC=2AB$，求直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（确定方程）：
   • 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹a^2=2c^2$。
   • 右焦点 $F(c,0)$ 到左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 的距离为 $c+\frac{a^2}{c}=3$。
   • 结合 $a^2=b^2+c^2$ 解出 $a,b,c$。
2. 第二问（联立与求解）：
   • 分类讨论：先验证 $AB\perp x$ 轴（斜率不存在）时是否符合。
   • 设直线联立：设直线 $AB:y=k(x-1)$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 $AB$ 弦长及中点 $C$ 的坐标。
   • 求垂线方程：写出垂直平分线 $PC$ 的方程（斜率为 $-\frac{1}{k}$ 且过点 $C$）。
   • 求交点 $P$：将直线 $l$ 的方程 $x=-2$ 代入垂线方程求出 $P$ 点坐标，进而表示弦长 $PC$。
   • 建立等量关系：根据 $PC=2AB$ 建立关于 $k$ 的方程，解出 $k$。

✅【答案】

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$(k^2-1{)}^2=0⟹k^2=1⟹k=\pm 1$ 故直线 $AB$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的标准方程 由题意，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $a^2=2c^2$。 右焦点 $F(c,0)$，左准线 $l:x=-\frac{a^2}{c}$。 距离为 $c-(-\frac{a^2}{c})=c+\frac{2c^2}{c}=3c=3$，解得 $c=1$。 则 $a^2=2$，$b^2=a^2-c^2=1$。 故椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2) 求直线 $AB$ 的方程 右焦点为 $F(1,0)$，左准线 $l:x=-2$。 若直线 $AB\perp x$ 轴，则 $AB:x=1$，代入椭圆方程得 $A(1,\frac{\sqrt{2}}{2}),B(1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 此时 $AB=\sqrt{2}$，中点 $C(1,0)$，垂直平分线为 $x$ 轴，交 $l$ 于 $P(-2,0)$。 则 $PC=3\ne 2\sqrt{2}$，不合题意。

若直线 $AB$ 与 $x$ 轴不垂直，设直线 $AB:y=k(x-1)$ ($k\ne 0$)。 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ x^2+2y^2=2\end{array}⟹(1+2k^2)x^2-4k^{2}x+2k^2-2=0$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{4k^2}{1+2k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{2k^2-2}{1+2k^2}$。 中点 $C$ 的横坐标 $x_C=\frac{2k^2}{1+2k^2}$，纵坐标 $y_C=k(x_C-1)=\frac{-k}{1+2k^2}$。 弦长 $AB=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{(4k^2{)}^2-4(1+2k^2)(2k^2-2)}}{1+2k^2}=\frac{2\sqrt{2}(1+k^2)}{1+2k^2}$。

垂直平分线 $PC$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，方程为 $y+\frac{k}{1+2k^2}=-\frac{1}{k}(x-\frac{2k^2}{1+2k^2})$。 代入准线 $x=-2$，得 $y_P=-\frac{1}{k}(-2-\frac{2k^2}{1+2k^2})-\frac{k}{1+2k^2}=\frac{2(3k^2+1)}{k(1+2k^2)}$。 $PC=\sqrt{1+(-\frac{1}{k}{)}^2}|x_C-x_P|=\frac{\sqrt{1+k^2}}{|k|}|\frac{2k^2}{1+2k^2}-(-2)|=\frac{2(3k^2+1)\sqrt{1+k^2}}{|k|(1+2k^2)}$。

由 $PC=2AB$ 得： $\frac{2(3k^2+1)\sqrt{1+k^2}}{|k|(1+2k^2)}=\frac{4\sqrt{2}(1+k^2)}{1+2k^2}$ 化简得 $\frac{3k^2+1}{|k|}=2\sqrt{2}\sqrt{1+k^2}$。 两边平方：$\frac{9k^4+6k^2+1}{k^2}=8(1+k^2)⟹9k^4+6k^2+1=8k^2+8k^4⟹k^4-2k^2+1=0$。 $(k^2-1{)}^2=0⟹k^2=1⟹k=\pm 1$ 故直线 $AB$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线基本参数（$a,b,c,e$）的计算；直线与椭圆联立后的韦达定理应用；垂直平分线的几何属性。
• 核心方法：设而不求法。在求弦长和中点时，利用韦达定理整体代换是减小计算压力的关键。
• 避坑指南：江苏卷大题计算量一向较高。在化简 $PC=2AB$ 的式子时，观察公因式 $\frac{\sqrt{1+k^2}}{1+2k^2}$ 提前约去，可大幅简化后续平方运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 椭圆中过焦点的弦及其垂直平分线的性质，常与离心率或特定的几何比例挂钩。 *方法推广: 求解动直线方程问题，通常以斜率为自变量建立关于几何条件的等量关系。

• 相关知识点：弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$、两垂直直线斜率关系 $k_1{k}_2=-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2018-江苏卷-18 解-椭圆性质
• 2011-江苏卷-18 解-椭圆对称与垂直定值
• 2016-高考江苏卷-18