2011-江苏卷-18 解-椭圆对称与垂直定值

本题导读

本题考查椭圆的几何性质与对称性，以及直线与椭圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$M$，$N$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P$，$A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$，连接 $AC$ 并延长交椭圆于点 $B$，设直线 $PA$ 的斜率为 $k$.

(1) 当直线 $PA$ 平分线段 $MN$ 时，求 $k$ 的值；

(2) 当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$；

(3) 对任意 $k>0$，求证：$PA\perp PB$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 中点坐标定 $k$
2. 步骤2：(2) 联立解出 $P$、$A$、$C$ 后写直线 $AB$ 求距离
3. 步骤3：(3) 设 $P(p,kp)$
4. 步骤4：用韦达定理求 $B$ 的坐标

✅【答案】

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(1) $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $d=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由椭圆方程及题图，$M(-2,0)$，$N(0,-\sqrt{2})$，线段 $MN$ 的中点为 $\left(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

直线 $PA$ 过原点且平分线段 $MN$，故它经过该中点，所以 $k=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}-0}{-1-0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

（2）当 $k=2$ 时，直线 $PA$ 的方程为 $y=2x$。代入椭圆方程得 $\frac{x^2}{4}+\frac{(2x{)}^2}{2}=1$，即 $9x^2=4$，$x=\pm \frac{2}{3}$。

因为 $P$ 在第一象限，所以 $P\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)$，$A\left(-\frac{2}{3},-\frac{4}{3}\right)$，垂足 $C\left(\frac{2}{3},0\right)$。

直线 $AC$ 即直线 $AB$，斜率为 $\frac{0+\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=1$，方程为 $y=x-\frac{2}{3}$，即 $x-y-\frac{2}{3}=0$。

点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{\left|\frac{2}{3}-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

（3）设 $P(p,kp)$（$p>0$），则 $A(-p,-kp)$，$C(p,0)$，直线 $AC$ 的方程为 $y=\frac{k}{2}(x-p)$。

代入椭圆方程（化为 $x^2+2y^2=4$）并整理：$2x^2+k^2(x-p{)}^2=8$，即 $(k^2+2)x^2-2k^{2}px+k^2{p}^2-8=0$。

该方程的两个根分别是 $A$、$B$ 的横坐标，已知一根为 $-p$，由韦达定理，另一根

$x_B=\frac{2k^{2}p}{k^2+2}+p=\frac{(3k^2+2)p}{k^2+2}$，

从而 $y_B=\frac{k}{2}(x_B-p)=\frac{k^{3}p}{k^2+2}$。

于是 $k_{PB}=\frac{y_B-kp}{x_B-p}=\frac{\frac{-2kp}{k^2+2}}{\frac{2k^{2}p}{k^2+2}}=-\frac{1}{k}$。

因为 $k\cdot \left(-\frac{1}{k}\right)=-1$，所以 $PA\perp PB$，结论对任意 $k>0$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的对称性；直线与椭圆联立及韦达定理；垂直的斜率充要条件

核心方法：设 $P(p,kp)$ 用单参数表示全图；联立后利用已知根 $-p$ 与韦达定理快速得出另一根，避免繁琐因式分解

避坑指南：第（3）问中 $x_B=\frac{2k^{2}p}{k^2+2}+p$ 这一步来自”两根之和”而不是”两根之积”，符号与分母易错；计算 $k_{PB}$ 时分子分母先各自通分再约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆对称与垂直定值题，与 2013 年江苏卷第 12 题、2014 年江苏卷第 17 题、2012 年江苏卷第 19 题同族。

结论推广：对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的同构构图（$P$、$A$ 关于原点对称，$AC$ 过 $P$ 的垂足），$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$；本题 $a^2=2b^2$，乘积恰为 $-1$。

方法推广：圆锥曲线定值题的标准流程：设参 → 联立 → 韦达 → 表达目标 → 化简出定值；已知一根时优先用根与系数关系而非求根公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程
• 2012-江苏卷-19 解-椭圆方程与焦点弦定值