2015-浙江卷文-12 填-分段函数

本题导读

$f(-2)=4$，$f(4)=4+\frac{6}{4}-6=-\frac{1}{2}$；$x>1$ 时 $x+\frac{6}{x}-6\ge 2\sqrt{6}-6<0$，故最小值为 $2\sqrt{6}-6$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1,\\ x+\frac{6}{x}-6,& x>1,\end{array}$ 则 $f(f(-2))=$ $\underline{}$，$f(x)$ 的最小值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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$f(-2)=4$，$f(4)=4+\frac{6}{4}-6=-\frac{1}{2}$；$x>1$ 时 $x+\frac{6}{x}-6\ge 2\sqrt{6}-6<0$，故最小值为 $2\sqrt{6}-6$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$；$2\sqrt{6}-6$

✍【详细解析】

Abstract

$f(-2)=(-2{)}^2=4>1$，故 $f(f(-2))=f(4)=4+\frac{6}{4}-6=4+\frac{3}{2}-6=-\frac{1}{2}$。

求最小值：当 $x\le 1$ 时，$f(x)=x^2\ge 0$，最小值为 $0$（$x=0$ 时）；

当 $x>1$ 时，$x>0$，$f(x)=x+\frac{6}{x}-6\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{6}{x}}-6=2\sqrt{6}-6$，当 $x=\frac{6}{x}$ 即 $x=\sqrt{6}>1$ 时取等号。

因为 $2\sqrt{6}-6\approx -1.10<0$，所以 $f(x)$ 的最小值为 $2\sqrt{6}-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的求值；基本不等式求最值

核心方法：“分段各求最值再合起来比大小”

避坑指南：①$f(f(-2))$ 要先算内层并判断落回哪一段，$f(-2)=4$ 落在第二段而不是继续用平方；②第二段的最小值 $2\sqrt{6}-6$ 是负数，比第一段的 $0$ 小，两段都要算完才能下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数 + 对勾函数的最值组合（doc 考点定位：分段函数求值；分段函数求最值），考查”分段处理、统一比较”的意识。

结论推广：一般地，$x+\frac{k}{x}$（$k>0$）在 $(0,\sqrt{k}]$ 上递减、$[\sqrt{k},+\infty )$ 上递增，最小值 $2\sqrt{k}$ 在 $x=\sqrt{k}$ 处取得。

方法推广：分段函数最值：逐段求最值（公式或单调性），最后取全体最小；复合求值从内到外逐层代入并核对所属段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2006-浙江卷理-12 填-几何法
• 2016-浙江卷理-18
• 2015-浙江卷理-15 填-向量数量积