2015-浙江卷文-19 解-抛物线切线

本题导读

$A(2t,t^2)$；切线条件 $PB\perp OB$ 联立圆方程得 $B\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{2t^2}{1+t^2}\right)$；$S=\frac{1}{2}\cdot t\sqrt{1+t^2}\cdot \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{t^3}{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 如图，已知抛物线 $C_1:y=\frac{1}{4}{x}^2$，圆 $C_2:x^2+(y-1{)}^2=1$，过点 $P(t,0)$（$t>0$）作不过原点 $O$ 的直线 $PA$，$PB$ 分别与抛物线 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相切，$A$，$B$ 为切点.

(1) 求点 $A$，$B$ 的坐标；

(2) 求 $△PAB$ 的面积.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

🔍【思路分析】

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$A(2t,t^2)$；切线条件 $PB\perp OB$ 联立圆方程得 $B\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{2t^2}{1+t^2}\right)$；$S=\frac{1}{2}\cdot t\sqrt{1+t^2}\cdot \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{t^3}{2}$。

✅【答案】

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(1) $A(2t,t^2)$，$B\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{2t^2}{1+t^2}\right)$

(2) $S=\frac{t^3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $A\left(x_0,\frac{x_0^2}{4}\right)$。由 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$，抛物线在 $A$ 处的切线为 $y-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}(x-x_0)$。

切线过 $P(t,0)$：$-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}(t-x_0)$，整理得 $x_0^2=2t{x}_0$。

$x_0=0$ 对应切线 $y=0$（$x$ 轴），与”直线不过原点”矛盾，舍去；故 $x_0=2t$，$A(2t,t^2)$。

设 $B(x_1,y_1)$。$PB$ 与圆 $C_2$ 相切于 $B$，则 $OB\perp PB$，即

$(x_1,y_1-1)\cdot (x_1-t,y_1)=0$，展开得 $x_1^2-t{x}_1+y_1^2-y_1=0$。

又 $B$ 在圆上：$x_1^2+y_1^2-2y_1=0$。两式相减得 $t{x}_1=y_1$。代回圆方程：

$x_1^2+t^2{x}_1^2-2t{x}_1=0$，即 $x_1\left[(1+t^2)x_1-2t\right]=0$。

$x_1=0$ 时 $B=O$，对应切线 $x$ 轴（过原点），舍去；故 $x_1=\frac{2t}{1+t^2}$，$y_1=\frac{2t^2}{1+t^2}$，即 $B\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{2t^2}{1+t^2}\right)$。

(2) 切线 $PA$ 的方程为 $y=tx-t^2$，即 $tx-y-t^2=0$，$|PA|=\sqrt{t^2+t^4}=t\sqrt{1+t^2}$。

$B$ 到直线 $PA$ 的距离 $d=\frac{\left|t\cdot \frac{2t}{1+t^2}-\frac{2t^2}{1+t^2}-t^2\right|}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}$。

故 $S_{△PAB}=\frac{1}{2}\cdot |PA|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot t\sqrt{1+t^2}\cdot \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{t^3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的切线（导数法）；圆的切线垂直于过切点的半径；点到直线的距离；三角形面积

核心方法：“切点设而不求 + 垂直条件联立 + 底高公式算面积”

避坑指南：①两条切线都”不过原点”，对应 $x_0=0$、$x_1=0$ 的解（切线为 $x$ 轴）必须舍去，这是本题设下的隐蔽约束；②$PB\perp OB$ 是切线的本质性质，用它比”判别式法”省力；③$B$ 到 $PA$ 的距离分子化简后恰为 $t^2$，先化简再代入可避免大运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与圆在原点相切共舞、双切线过定点 $P$，是浙江卷解析几何压轴的标志性构图（doc 考点定位：抛物线的几何性质；直线与圆、直线与抛物线的位置关系），第（2）问面积恰为 $\frac{t^3}{2}$ 的简洁结果与构图之美呼应。

结论推广：一般地，过 $P(t,0)$ 作 $y=\frac{x^2}{4}$ 的切线，切点横坐标 $x_0=2t$；切圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 的切点满足 $y_1=t{x}_1$。面积公式 $S=\frac{|PA|\cdot d}{2}$ 中高恰为 $\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}$，来源是 $t{x}_1-y_1=0$ 的巧合。

方法推广：圆锥曲线切点问题三板斧：设切点坐标、用导数（或判别式）列切线条件、几何性质（垂直/相等）补第二条件；面积用”底 × 点线距离”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-19
• 2015-浙江卷理-19 解-椭圆性质
• 2006-浙江卷理-19 解-导数工具在不等式恒成立问题中的应用