2015-浙江卷理-12 填-对数运算

本题导读

本题考查对数的定义及指数幂的运算。通过对数式与指数式的互化，将抽象的参数代入目标代数式进行化简求值。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）若 $a={\log }_{4}3$，则 $2^a+2^{-a}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 指对互化：根据 ${\log }_{b}N=x⟺b^x=N$，由 $a={\log }_{4}3$ 得到 $4^a=3$。
2. 底数转化：将 $4^a$ 转化为 $(2^2{)}^a=2^{2a}$，从而求出 $2^a$。
3. 求倒数：根据负整数指数幂的性质，$2^{-a}=\frac{1}{2^a}$。
4. 求和：将两项相加并化简。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：指对互化 因为 $a={\log }_{4}3$， 所以 $4^a=3$。

第二步：求 $2^a$ 与 $2^{-a}$ 由于 $4^a=(2^2{)}^a=(2^a{)}^2=3$， 且 $2^a>0$，所以 $2^a=\sqrt{3}$。 则 $2^{-a}=\frac{1}{2^a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

第三步：计算目标式 $2^a+2^{-a}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数基本性质 ${\log }_a{N}^k=k{\log }_{a}N$ 以及 $a^{{\log }_{a}N}=N$。
• 核心方法：公式法。本题也可以直接代入：$2^{{\log }_{4}3}=2^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}=2^{{\log }_2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。
• 避坑指南：注意分母有理化的过程，保持结果的简洁规范。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$（指对交换公式）。利用此公式，$2^{{\log }_{4}3}=3^{{\log }_{4}2}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$。 *方法推广: 涉及对数与指数复合运算时，优先统一底数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-12
• 2011-浙江卷理-12
• 2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式