2015-浙江卷理-18 解-二次函数最值

本题导读

本题是含参数二次函数最值问题的综合研究。第一问利用对称轴与区间的关系确定函数的单调性，再结合绝对值不等式进行放缩证明；第二问将最大值约束转化为不等式组，通过参数范围的限定寻求目标代数式的极大值。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2+ax+b$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，记 $M(a,b)$ 是 $|f(x)|$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值.

(1) 证明：当 $|a|\ge 2$ 时，$M(a,b)\ge 2$；

(2) 当 $a,b$ 满足 $M(a,b)\le 2$ 时，求 $|a|+|b|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

   • 分析对称轴：二次函数 $f(x)$ 的对称轴为 $x=-\frac{a}{2}$。当 $|a|\ge 2$ 时，$|\frac{a}{2}|\ge 1$，即对称轴不在区间 $(-1,1)$ 内部。

   • 确定单调性：此时 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调，最大值必在端点 $x=1$ 或 $x=-1$ 处取得。

   • 利用放缩：$M(a,b)=\max \{|f(1)|,|f(-1)|\}$。利用 $\max \{|A|,|B|\}\ge \frac{|A-B|}{2}$ 结合已知条件完成证明。

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2. 第二问思路：

   • 等价转化：$M(a,b)\le 2⟺\forall x\in [-1,1],-2\le f(x)\le 2$。

   • 建立约束：利用端点值 $f(1),f(-1)$ 以及顶点值（如果对称轴在区间内）建立关于 $a,b$ 的不等式组。

   • 目标寻优：通过边界点的讨论（如 $a=2,b=-1$ 等特殊位置），结合绝对值的性质 $|a|+|b|=\max \{|a+b|,|a-b|\}$ 等技巧求出最大值。

✅【答案】

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故 $|a|+|b|$ 的最大值为 3

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：

函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 的对称轴为 $x=-\frac{a}{2}$。

因为 $|a|\ge 2$，所以 $-\frac{a}{2}\le -1$ 或 $-\frac{a}{2}\ge 1$。

由此可知 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上是单调函数。

所以 $|f(x)|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值 $M(a,b)$ 必在端点处取得，即：

$M(a,b)=\max \{|f(1)|,|f(-1)|\}=\max \{|1+a+b|,|1-a+b|\}$

根据绝对值不等式性质 $\max \{|A|,|B|\}\ge \frac{|A-B|}{2}$：

$M(a,b)\ge \frac{|(1+a+b)-(1-a+b)|}{2}=\frac{|2a|}{2}=|a|$

因为 $|a|\ge 2$，所以 $M(a,b)\ge 2$。得证。

（2）求解 $|a|+|b|$ 的最大值：

当 $M(a,b)\le 2$ 时，由（1）可知 $|a|\le 2$（否则 $M(a,b)\ge |a|>2$ 与已知矛盾）。

由 $M(a,b)\le 2$ 可得区间端点满足：

$-2\le f(1)\le 2⟹-2\le 1+a+b\le 2⟹-3\le a+b\le 1$ —— ①

$-2\le f(-1)\le 2⟹-2\le 1-a+b\le 2⟹-3\le b-a\le 1$ —— ②

由 ① 可知 $|a+b|=|(a+b+1)-1|\le |a+b+1|+1\le 3$（当 $a+b=-3$ 时取得）。

由 ② 可知 $|b-a|\le 3$（当 $b-a=-3$ 时取得）。

注意到 $|a|+|b|=\max \{|a+b|,|a-b|\}$。

（证明：若 $ab\ge 0$，则 $|a|+|b|=|a+b|$；若 $ab<0$，则 $|a|+|b|=|a-b|$）。

由上述不等式组可知 $|a+b|\le 3$ 且 $|b-a|\le 3$。

所以 $|a|+|b|\le 3$。

检验等号成立的条件：

当 $a=2,b=-1$ 时，$f(x)=x^2+2x-1$。

对称轴 $x=-1$ 为左端点，$f(1)=2,f(-1)=-2$。

此时 $|f(x)|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为 2，符合题意。

此时 $|a|+|b|=|2|+|-1|=3$。

故 $|a|+|b|$ 的最大值为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数在闭区间上的最值取决于对称轴与区间的相对位置。

• 核心方法：绝对值放缩法。利用 $|A|+|B|\ge |A\pm B|$ 是处理此类“最大值的最小值”或“极值约束”问题的标准套路。

• 避坑指南：第二问中，仅由端点值推导出的结果只是必要条件，必须验证在该参数下，函数在区间内部的顶点值 $|f(-\frac{a}{2})|$ 是否也满足 $\le 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 切比雪夫多项式原理：在所有首项系数为 1 的 $n$ 次多项式中，在 $[-1,1]$ 上偏差最小的是 $\frac{1}{2^{n-1}}{T}_n(x)$。本题 $n=2$ 时的结论即为 $M(a,b)\ge \frac{1}{2}$（当区间为 $[-1,1]$ 且多项式为 $x^2-\frac{1}{2}$ 时取得）。

*方法推广: 涉及 $\max \{|f(1)|,|f(-1)|,|f(0)|\}$ 的组合常能通过系数消元得到关于参数的恒等式。

• 相关知识点：基本不等式、线性规划。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2011-浙江卷理-18
• 2016-浙江卷理-18
• 2014-浙江卷理-15 填-分段函数