2015-湖北卷文-17 填-绝对值函数最值

本题导读

分 $a\le 0$、$0<a<1$、$1\le a\le 2$、$a>2$ 四段写 $g(a)$：只有 $0<a<1$ 时 $g(a)=\max \{\frac{a^2}{4},1-a\}$ 可能小于 1，令两式相等解得 $a=2\sqrt{2}-2$，此时 $g=3-2\sqrt{2}$ 最小。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） $a$ 为实数，函数 $f(x)=|x^2-ax|$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值记为 $g(a)$.当 $a=$ $\underline{}$ 时，$g(a)$ 的值最小.

🔍【思路分析】

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分 $a\le 0$、$0<a<1$、$1\le a\le 2$、$a>2$ 四段写 $g(a)$：只有 $0<a<1$ 时 $g(a)=\max \{\frac{a^2}{4},1-a\}$ 可能小于 1，令两式相等解得 $a=2\sqrt{2}-2$，此时 $g=3-2\sqrt{2}$ 最小。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}-2$

✍【详细解析】

Abstract

记 $h(x)=x^2-ax$，其图象开口向上，在 $x=\frac{a}{2}$ 处取最小值 $-\frac{a^2}{4}$；而 $f(x)=|h(x)|$ 的最大值只可能在 $x=0$、$x=1$ 或 $x=\frac{a}{2}$ 处取得。

① $a\le 0$：$h\ge 0$，$f(x)=x^2$，$g(a)=1$。

② $0<a<1$：顶点 $\frac{a}{2}\in (0,\frac{1}{2})$，$f$ 在顶点处取 $\frac{a^2}{4}$，在 $x=1$ 处取 $|1-a|=1-a$（$x=0$ 处为 0），故 $g(a)=\max \left\{\frac{a^2}{4},1-a\right\}$。令 $\frac{a^2}{4}=1-a$，即 $a^2+4a-4=0$，$a=2\sqrt{2}-2$（正根）。此时 $g(a)=3-2\sqrt{2}\approx 0.17$。

③ $1\le a\le 2$：$h\le 0$ 于 $[0,1]$，$f=ax-x^2$，最大值在 $x=\frac{a}{2}$ 处为 $\frac{a^2}{4}$，且 $\frac{a^2}{4}\ge \frac{1}{4}$；又 $x=1$ 处为 $a-1$，故 $g(a)=\max \{\frac{a^2}{4},a-1\}\ge \frac{1}{4}$。

④ $a>2$：$g(a)=a-1>1$。

综上，$g(a)$ 的最小值为 $3-2\sqrt{2}$，当且仅当 $a=2\sqrt{2}-2$ 时取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参绝对值函数在闭区间上的最值；分类讨论与函数思想

核心方法：锁定最值候选点（端点 + 顶点），分段写 $g(a)$，再对 $g(a)$ 求最小

避坑指南：①最值候选点是 $x=0,1,\frac{a}{2}$ 三处，漏顶点会得 $g(a)=1-a$ 单调的错误结论；②求”最小值点 $a$“不是求 $g(a)$ 的值，别填 $3-2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题是”动态最值的静态化”代表题：把随参数变化的区间最值写成 $g(a)$ 再求最小，2015 湖北卷填空压轴（doc 考点定位：分段函数的最值问题）。

结论推广：对 $f(x)=|x^2-ax|$（$x\in [0,1]$），$g(a)$ 的最小值恒为 $\frac{\underset{t}{\min }\max \{t^2/4,1-t\}}{}$ 型”平衡原理”：最优时各候选值尽量相等（均匀化思想）。

方法推广：闭区间上含参二次绝对值的最值：先定候选点，再”平衡候选值”求最优参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式
• 2011-湖北卷理-17
• 2010-湖北卷理-17