2015-湖北卷文-18 解-五点法平移

本题导读

由表中两组已知数据 $\omega \left(\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$ 得 $\omega =2$，再由 $2\cdot \frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$，$A=5$；左移 $\frac{\pi }{6}$ 后 $g(x)=5\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，最近对称中心 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 某同学用”五点法”画函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

| $\omega x+\phi$ | $0$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi }{2}$ | $2\pi$ | | $x$ | $\frac{\pi }{3}$ | | $\frac{5\pi }{6}$ | | | | $A\sin (\omega x+\phi )$ | $0$ | $5$ | $-5$ | $0$ | |

(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 将 $y=f(x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到 $y=g(x)$ 的图象.求 $y=g(x)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心.

🔍【思路分析】

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由表中两组已知数据 $\omega \left(\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$ 得 $\omega =2$，再由 $2\cdot \frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$，$A=5$；左移 $\frac{\pi }{6}$ 后 $g(x)=5\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，最近对称中心 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$。

✅【答案】

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(1) $x$ 行依次为 $\frac{\pi }{12}$，$\frac{\pi }{3}$，$\frac{7\pi }{12}$，$\frac{5\pi }{6}$，$\frac{13\pi }{12}$；最后一格为 $0$；$f(x)=5\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

(2) $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由表中两组已知数据，相位差与横坐标差对应：$\omega \left(\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{2}$，即 $\omega \cdot \frac{\pi }{2}=\pi$，$\omega =2$。

又 $2\times \frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}$，得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$；由 $A\sin \frac{\pi }{2}=5$ 得 $A=5$。

对相位为 $\theta$ 的列，$x=\frac{\theta -\phi }{\omega }=\frac{\theta +\frac{\pi }{6}}{2}$，故表中 $x$ 一行依次为 $\frac{\pi }{12}$，$\frac{\pi }{3}$，$\frac{7\pi }{12}$，$\frac{5\pi }{6}$，$\frac{13\pi }{12}$；最后一格 $A\sin 2\pi =0$。

函数解析式为 $f(x)=5\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。

(2) 向左平移 $\frac{\pi }{6}$：$g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=5\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

令 $2x+\frac{\pi }{6}=k\pi$，得对称中心 $\left(\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12},0\right)$，$k\in \mathbf{Z}$。

当 $k=0$ 时该点到原点距离为 $\frac{\pi }{12}$，小于其他 $k$ 对应的距离，故最近的对称中心为 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象与性质；五点法的相位—横坐标对应关系

核心方法：“相位差 = $\omega \times$ 横坐标差”定 $\omega$；平移后对称中心由 $\omega x+\phi =k\pi$ 求取

避坑指南：①表中给的两组 $x$ 分属相位 $0$ 与 $\pi$ 的列，对应关系别排错；②平移是”左加”，$g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$；③对称中心在 $x$ 轴上，不是最值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：五点法表格题一反”由解析式填表”的常规，改为”由残表反求解析式”，新浪点评称其为”考察方式有所创新的大题”。

结论推广：平移变换推广：$f(x)\to f\left(x+\frac{\phi }{\omega }+\frac{k\pi }{\omega }\right)$ 后对称中心间距恒为 $\frac{\pi }{\omega }$；正弦型曲线对称中心横坐标差为周期的一半。

方法推广：残表反求解析式：先用”相位差与横坐标差”锁定 $\omega$，再用满相位列解 $\phi$ 与 $A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-17 解-五点法作图
• 2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式
• 2013年湖北卷理-4