2015-湖北卷理-17 解-五点法作图

本题导读

本题考查三角函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的解析式求法及图象平移变换。第一问通过“五点法”列表中的对应关系确定参数；第二问根据平移规律及对称中心性质求参数的极值。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 某同学用“五点法”画函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$ ($\omega >0,|\varphi |<\frac{\pi }{2}$) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

| $\omega x+\varphi$ | $0$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi }{2}$ | $2\pi$ | | $x$ | | $\frac{\pi }{3}$ | | $\frac{5\pi }{6}$ | | | $A\sin (\omega x+\varphi )$ | $0$ | $5$ | | $-5$ | $0$ |

(1) 请将上表数据补充完整，直接写出函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 将 $y=f(x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta$ ($\theta >0$) 个单位长度，得到 $y=g(x)$ 的图象.若 $y=g(x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5\pi }{12},0)$，求 $\theta$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（确定解析式）：
   • 求 $A$：观察第三行，最大值为 $5$，最小值为 $-5$，故 $A=5$。
   • 求 $\omega$：利用 $x$ 的两个已知值对应的 $\omega x+\varphi$ 值。由 $\omega \cdot \frac{5\pi }{6}+\varphi =\frac{3\pi }{2}$ 和 $\omega \cdot \frac{\pi }{3}+\varphi =\frac{\pi }{2}$ 建立方程组求解 $\omega$ 和 $\varphi$。
   • 补全表格：根据求得的 $\omega ,\varphi$ 代入各点对应的 $\omega x+\varphi$ 值求出 $x$。
2. 第二问（平移与对称性）：
   • 平移变换：向左平移 $\theta$ 个单位，解析式变为 $g(x)=f(x+\theta )=5\sin [2(x+\theta )-\frac{\pi }{6}]$。
   • 利用对称中心：正弦函数的对称中心满足相位 $2x+2\theta -\frac{\pi }{6}=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
   • 求极值：将 $x=\frac{5\pi }{12}$ 代入，求出 $\theta$ 关于 $k$ 的表达式，结合 $\theta >0$ 求最小值。

✅【答案】

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故 $\theta$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）确定解析式与补充表格 由表知，$A\sin (\omega x+\varphi )$ 的最大值为 $5$，故 $A=5$。 根据表中的对应关系： $\{\begin{array}{l}\omega \cdot \frac{\pi }{3}+\varphi =\frac{\pi }{2}\text{(1)}\\ \omega \cdot \frac{5\pi }{6}+\varphi =\frac{3\pi }{2}\text{(2)}\end{array}$ ② - ① 得：$\omega \cdot (\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3})=\pi ⟹\omega \cdot \frac{\pi }{2}=\pi ⟹\omega =2$。 代入 ① 得：$2\cdot \frac{\pi }{3}+\varphi =\frac{\pi }{2}⟹\varphi =\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}$。 满足 $|\varphi |<\frac{\pi }{2}$。 故解析式为：$f(x)=5\sin (2x-\frac{\pi }{6})$。

补全表格数据如下：

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=0$ 时，$x=\frac{\pi }{12}$；

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\pi$ 时，$x=\frac{7\pi }{12}$，$y=0$；

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=2\pi$ 时，$x=\frac{13\pi }{12}$。

（Ⅱ）求 $\theta$ 的最小值 将 $y=f(x)$ 向左平移 $\theta$ 个单位得： $g(x)=5\sin [2(x+\theta )-\frac{\pi }{6}]=5\sin (2x+2\theta -\frac{\pi }{6})$。 因为 $y=\sin X$ 的对称中心为 $(k\pi ,0)$ ($k\in \mathbb{Z}$)， 令 $2x+2\theta -\frac{\pi }{6}=k\pi$， 若 $(\frac{5\pi }{12},0)$ 为对称中心，代入 $x=\frac{5\pi }{12}$： $2\cdot \frac{5\pi }{12}+2\theta -\frac{\pi }{6}=k\pi$ $\frac{5\pi }{6}+2\theta -\frac{\pi }{6}=k\pi$ $\frac{2\pi }{3}+2\theta =k\pi ⟹2\theta =k\pi -\frac{2\pi }{3}$ $\theta =\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{3}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 因为 $\theta >0$，令 $k=1$，$\theta =\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$。 故 $\theta$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：五点法作图的相位对应关系（$0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$）；左加右减的平移规律。
• 核心方法：待定系数法求解析式；整体代换法求对称中心。
• 避坑指南：平移变换时，$\theta$ 是加在 $x$ 上，即 $2(x+\theta )$，容易漏掉系数 $2$ 而错写成 $2x+\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的对称轴对应相位为 $k\pi +\frac{\pi }{2}$，对称中心对应相位为 $k\pi$。
• 方法推广: 在处理图象变换与性质结合的题目时，先写出变换后的解析式，再利用“整体代换”思想解决单调性、对称性等问题。
• 相关知识点: 正弦型函数的周期、最值、振幅、相位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式
• 2013年湖北卷理-17
• 2012-湖北卷理-17