2015-湖北卷理-02 单-样本比例

本题导读

本题借用《九章算术》中的古代数学背景，考查统计学中“用样本估计总体”的核心思想。通过计算样本中夹谷的比例来推算总量中的夹谷数量，属于基础应用题。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ()

A. 134 石　　　　B. 169 石　　　　C. 338 石　　　　D. 1365 石

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：这是一个典型的比例估计问题。假设样本中夹谷的占比与总体中夹谷的占比相等。
2. 提取数据：
   • 总体数量（米的总量）：$1534$ 石
   • 样本总量：$254$（通常指总粒数）
   • 样本中夹谷数量：$28$ 粒
3. 建立比例式：夹谷总量 $\approx$ 米的总量 $\times$ 样本中夹谷占比。
4. 计算求解：代入数据，进行约算。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

根据样本估计总体的原理，总体中夹谷的占比约等于样本中夹谷的占比。 样本中夹谷占比为：$\frac{28}{254}$。

设这批米内夹谷约为 $x$ 石，则： $x=1534\times \frac{28}{254}$ 进行估算： $x\approx 1534\times \frac{28}{252}=1534\times \frac{1}{9}$ $x\approx 170.4$ 观察选项，169 石最为接近。精确计算：$1534\times 0.1102\approx 169.1$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：用样本的数字特征（如比例、均值、方差等）去估计总体的数字特征。
• 计算技巧：在选择题中，若计算数值较为琐碎，可以观察选项的差距，通过适当的放缩或约分（如将 254 看作 252）来快速定位答案。
• 文化背景：湖北卷常在背景中融入传统文化，解题关键在于剥离文字外壳，提取数学比例模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在工业质检、生态调查（如标记重捕法）中，均采用类似的样本比例估计总体的逻辑。
• 方法推广:
  • 分层抽样：若米中不同层位的谷子分布不均，则需采用分层抽样以提高估计精度。
• 相关知识点: 均值估计、频率分布直方图、样本特征数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

B

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-20 解-二项分布
• 2014-湖北卷理-04 单-回归分析
• 2013年湖北卷理-11