2015-湖北卷理-10 单-取整函数

本题导读

本题是 2015 年湖北理科卷的选择题压轴题。考查高斯函数 $[x]$ 的定义及其不等式性质。通过构建关于实数 $t$ 的一系列幂次不等式组，利用不等式的传递性寻找矛盾点，从而确定正整数 $n$ 的最大边界。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 设 $x\in \mathbf{R}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.若存在实数 $t$，使得 $[t]=1,[t^2]=2,[t^3]=3,\cdots ,[t^n]=n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是 ()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：$[x]=n⟺n\le x<n+1$。
2. 列出不等式组：
   • 由 $[t]=1$ 得 $1\le t<2$；
   • 由 $[t^2]=2$ 得 $2\le t^2<3⟹\sqrt{2}\le t<\sqrt{3}$；
   • 由 $[t^3]=3$ 得 $3\le t^3<4⟹\sqrt[3]{3}\le t<\sqrt[3]{4}$；
   • 依此类推，$[t^n]=n$ 得 $\sqrt[n]{n}\le t<\sqrt[n]{n+1}$。
3. 寻找交集：实数 $t$ 必须满足所有不等式的交集不为空。即要求 $\max \{\sqrt[k]{k}\}<\min \{\sqrt[k]{k+1}\}$ 对于 $k=1,\dots ,n$ 恒成立。
4. 寻找矛盾：重点观察 $t^2$ 和 $t^n$ 的范围。通过低次项缩小 $t$ 的范围，代入高次项检验是否与取整结果矛盾。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由低次项确定 $t$ 的范围 由 $[t]=1$，得 $1\le t<2$； 由 $[t^2]=2$，得 $2\le t^2<3⟹\sqrt{2}\le t<\sqrt{3}$； 由 $[t^3]=3$，得 $3\le t^3<4⟹\sqrt[3]{3}\le t<\sqrt[3]{4}$； 由 $[t^4]=4$，得 $4\le t^4<5⟹\sqrt[4]{4}\le t<\sqrt[4]{5}$，即 $\sqrt{2}\le t<\sqrt[4]{5}$。

综合以上条件，目前 $t$ 的取值范围上限受制于 $\sqrt[4]{5}$，下限受制于 $\sqrt[3]{3}$（经计算 $\sqrt[3]{3}\approx 1.442,\sqrt{2}\approx 1.414$）。 所以此时 $\sqrt[3]{3}\le t<\sqrt[4]{5}$。

第二步：验证 $n=5$ 是否成立 若 $n=5$ 成立，则需满足 $[t^5]=5$，即 $5\le t^5<6$。 由第一步中得到的 $t<\sqrt[4]{5}$，两边同时 5 次方： $t^5<(\sqrt[4]{5}{)}^5=5^{5/4}=5\cdot 5^{1/4}=5\sqrt[4]{5}$。 我们需要比较 $5\sqrt[4]{5}$ 与 $6$ 的大小： 因为 $(\sqrt[4]{5}{)}^4=5$，而 $(1.5{)}^4=5.0625$，所以 $\sqrt[4]{5}<1.5$。 进一步估算：$1.4^4=3.8416$，$1.5^4=5.0625$。 实际上，$5^{5/4}\approx 5\times 1.495=7.475$，单纯从上限看似乎不矛盾。

第三步：利用 $t^2$ 与 $t^3$ 的精确交集进行收网 我们知道 $2\le t^2<3$ 且 $3\le t^3<4$。 由 $t^2<3⟹t^6<27$； 由 $t^3\ge 3⟹t^6\ge 9$。 观察更紧凑的边界： 由 $[t^2]=2$ 得 $t^2<3$； 由 $[t^3]=3$ 得 $t^3\ge 3$； 由这两者得 $t^5=t^2\cdot t^3<3\cdot \sqrt[3]{4^2}$？这种放缩太粗。 精确对比： 由 $[t^2]=2⟹2\le t^2<3$； 由 $[t^4]=4⟹4\le t^4<5$。 由 $4\le t^4<5$ 知 $2\le t^2<\sqrt{5}$。 此时考虑 $t^5=t^2\cdot t^3$。 因为 $t^2<\sqrt{5}\approx 2.236$，而由 $[t^3]=3⟹3\le t^3<4$。 我们可以得到 $t$ 的上限为 $\sqrt[4]{5}$。 则 $t^5<(\sqrt[4]{5}{)}^5=5^{1.25}$。 计算 $5^{1.25}$ 与 $6$ 的关系： $5^5=3125$，$6^4=1296$。 由于 $3125>1296$，即 $5^5>6^4⟹5^{5/4}>6$。 注意！ 这里的矛盾点在于下限。 由 $[t^2]=2⟹t^2<3$；由 $[t^3]=3⟹t^3<4$；由 $[t^4]=4⟹t^4\ge 4$。 从 $[t^4]\ge 4$ 得到 $t\ge \sqrt{2}$。 当 $t\ge \sqrt{2}$ 时，$t^5\ge (\sqrt{2}{)}^5=4\sqrt{2}\approx 5.656$。这与 $[t^5]=5$ 不矛盾。 真正的矛盾在于 $[t^2]=2$ 与 $[t^n]=n$ 的上限关系： 由 $[t^2]=2$ 得 $t^2<3⟹t<\sqrt{3}\approx 1.732$。 由 $[t^4]=4$ 得 $t^4<5⟹t<\sqrt[4]{5}\approx 1.495$。 由 $[t^5]=5$ 考察 $t^5<6⟹t<\sqrt[5]{6}\approx 1.431$。 但是，由 $[t^3]=3$ 知 $t^3\ge 3⟹t\ge \sqrt[3]{3}\approx 1.442$。 易知，若 $n=5$，则必须有 $t\ge \sqrt[3]{3}$ 且 $t<\sqrt[5]{6}$。 比较 $\sqrt[3]{3}$ 与 $\sqrt[5]{6}$： $(\sqrt[3]{3}{)}^{15}=3^5=243$； $(\sqrt[5]{6}{)}^{15}=6^3=216$。 由于 $243>216$，即 $\sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{6}$。 这意味着不存在 $t$ 同时满足 $[t^3]=3$ 和 $[t^5]=5$。 因此 $n$ 最大只能取到 4。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：取整函数的不等式转换 $[x]=n⟺n\le x<n+1$。
• 数学思想：转化与划归、数形结合。将取整问题转化为连续函数的交集问题。
• 避坑指南：在比较方根大小时（如 $\sqrt[3]{3}$ 与 $\sqrt[5]{6}$），通过两边同时取最小公倍数次幂（15次幂）是判断大小的最严谨方法，不要仅依赖数值估算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 函数 $f(n)=\sqrt[n]{n}$ 在 $n=e$ 附近取得最大值。对于类似的 $[t^n]=n$ 问题，随着 $n$ 增大，对应的 $t$ 区间会迅速缩小直至消失。
• 方法推广: 处理涉及“存在性”的实数问题，核心通常是联立不等式组并判断其可行域（交集）是否为空。
• 相关知识点: 高斯函数图象、幂函数单调性、数值估算技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-10 单-函数奇偶性
• 2013年湖北卷理-10
• 2011-湖北卷理-10