2015-湖北卷理-12 填-二倍角公式

本题导读

本题考查复杂函数的零点个数问题。通过三角恒等变换将原函数化简为两个常见函数（正弦函数与对数函数）的差，进而利用数形结合的思想，通过观察两个函数图象的交点个数来确定零点的个数。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 函数 $f(x)=4{\cos }^2\frac{x}{2}\cos (\frac{\pi }{2}-x)-2\sin x-|\ln (x+1)|$ 的零点个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简三角部分：
   • 利用降幂公式 $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$。
   • 利用诱导公式 $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$。
   • 展开并利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 进行化简。
2. 等价转化：将 $f(x)=0$ 转化为 $\sin 2x=|\ln (x+1)|$。
3. 数形结合：在同一坐标系内画出 $y=\sin 2x$ 和 $y=|\ln (x+1)|$ 的图象，观察其交点个数。注意对数函数的定义域 $x>-1$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简函数解析式 $f(x)=2(2{\cos }^2\frac{x}{2})\cos (\frac{\pi }{2}-x)-2\sin x-|\ln (x+1)|$ 代入 $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$ 和 $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$： $f(x)=2(1+\cos x)\sin x-2\sin x-|\ln (x+1)|$ $f(x)=2\sin x+2\sin x\cos x-2\sin x-|\ln (x+1)|$ $f(x)=\sin 2x-|\ln (x+1)|$

第二步：转化零点问题为交点问题 令 $f(x)=0$，得 $\sin 2x=|\ln (x+1)|$。 方程的解即为函数 $g(x)=\sin 2x$ 与 $h(x)=|\ln (x+1)|$ 图象交点的横坐标。

第三步：数形结合分析

1. 定义域限制：$x+1>0⟹x>-1$。
2. 图象特征：
   • $y=\sin 2x$：周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \approx 3.14$。值域为 $[-1,1]$。
   • $y=|\ln (x+1)|$：将 $y=\ln (x+1)$ 在 $x$ 轴下方的部分翻折上来。当 $x=0$ 时，$y=0$；当 $x=e-1\approx 1.718$ 时，$y=1$；当 $x>e-1$ 时，$y>1$。
3. 判定交点：
   • 在 $x=0$ 处，两个函数值均为 $0$，这是一个明显的交点。
   • 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 范围内，$2x\in (0,\pi )$，$\sin 2x>0$。而 $h(x)$ 从 $0$ 增加到 $h(\frac{\pi }{2})=\ln (\frac{\pi }{2}+1)\approx \ln (2.57)<1$。由于 $g(x)$ 在 $\pi /4$ 处达到峰值 $1$，而 $h(x)$ 在此区间增长较慢，图象在 $(0,e-1)$ 之间必有另一个交点。
   • 当 $x>e-1$ 时，$|\ln (x+1)|>1$，而 $\sin 2x\le 1$，不再有交点。
   • 在 $(-1,0)$ 范围内，$2x\in (-2,0)$，$\sin 2x<0$。而 $|\ln (x+1)|\ge 0$，无交点。

综合观察，两个函数图象共有 2 个交点。

答案：2


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角恒等变换的熟练度（降幂与倍角公式）以及利用图象解决方程根的个数问题。
• 避坑指南：
  1. 诱导公式符号不要出错。
  2. 估算对数函数值时，注意 $e\approx 2.718,\pi \approx 3.14$，以此判定函数图象相对位置。
  3. 注意绝对值符号 $|\ln (x+1)|$ 使对数函数图象发生了翻折。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于 $f(x)=g(x)-h(x)$ 型零点问题，若 $g(x)$ 是周期的且 $h(x)$ 是趋向无穷的，则零点个数通常是有限的，且主要集中在 $h(x)$ 的值域与 $g(x)$ 值域重叠的区域。
• 方法推广:
  • 导数法：对于无法直观作图的函数，利用导数判断单调性与极值，结合零点存在性定理也是核心手段。
• 相关知识点: 函数图象的变换（平移、翻折）、二倍角公式、对数函数性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2004-湖北理-12 单-三角函数应用
• 2010-湖北卷理-12
• 2013年湖北卷理-17