2015-湖南卷文-13 填-直线与圆

本题导读

圆心到直线距离 $d=1$；由 $\angle AOB=120^{\circ }$ 得 $d=r\cos 60^{\circ }=\frac{r}{2}$，故 $r=2$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 若直线 $3x-4y+5=0$ 与圆 $x^2+y^2=r^2$（$r>0$）相交于 $A$，$B$ 两点，且 $\angle AOB=120^{\circ }$（$O$ 为坐标原点），则 $r=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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圆心到直线距离 $d=1$；由 $\angle AOB=120^{\circ }$ 得 $d=r\cos 60^{\circ }=\frac{r}{2}$，故 $r=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $O$ 到直线 $3x-4y+5=0$ 的距离 $d=\frac{|5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=1$。

设垂足为 $M$，则 $OM\perp AB$ 且 $M$ 平分 $AB$，故 $\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOB=60^{\circ }$。

在直角三角形 $OMA$ 中，$d=OM=r\cos 60^{\circ }=\frac{r}{2}$，于是 $r=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；圆的弦长与圆心角

核心方法：垂径定理构建直角三角形：$d=r\cos \frac{\theta }{2}$（$\theta$ 为圆心角）

避坑指南：距离公式中分母是 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，分子是 $|5|$；半角是 $60^{\circ }$ 不是 $120^{\circ }$，余弦别取负。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线的圆心角型相交是解析几何填空的常客（doc 考点定位：直线与圆的位置关系）。

结论推广：一般地，弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2r\sin \frac{\theta }{2}$、$d=r\cos \frac{\theta }{2}$，两个式子配合可解一切”弦—距—角”三角组。

方法推广：圆的弦问题三件套：距离公式求 $d$、垂径定直角三角形、半角三角函数联系 $r$ 与 $d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-16（2）
• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化
• 2012-湖南卷理-11