2015-湖南卷文-18 解-线面角体积

本题导读

$AE\perp BC$ 且 $AE\perp C{C}_1$ 得 $AE\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$；法向量算 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $h=\sqrt{2}$，$V=\frac{\sqrt{6}}{12}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面是边长为 2 的正三角形，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$C{C}_1$ 的中点.

(1) 证明：平面 $AEF\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$；

(2) 若直线 $A_{1}C$ 与平面 $A_{1}AB{B}_1$ 所成的角为 $45^{\circ }$，求三棱锥 $F-AEC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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$AE\perp BC$ 且 $AE\perp C{C}_1$ 得 $AE\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$；法向量算 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $h=\sqrt{2}$，$V=\frac{\sqrt{6}}{12}$。

✅【答案】

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(2) $V=\frac{\sqrt{6}}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 底面 $ABC$ 是正三角形且 $E$ 是 $BC$ 中点，所以 $AE\perp BC$。又直棱柱中 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，故 $AE\perp C{C}_1$。

$BC$ 与 $C{C}_1$ 是平面 $B_{1}BC{C}_1$ 内的相交直线，所以 $AE\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。又 $AE\subset$ 平面 $AEF$，所以平面 $AEF\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。

(2) 设棱柱的高为 $h$，建系：$B(-1,0,0)$，$C(1,0,0)$，$A(0,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,\sqrt{3},h)$，$B_1(-1,0,h)$，$C_1(1,0,h)$。

平面 $A_{1}AB{B}_1$ 过竖直直线 $AB$（底面内 $AB$：$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$），取其法向量 $\mathbf{n}=(\sqrt{3},-1,0)$。

$\overrightarrow{A_{1}C}=(1,-\sqrt{3},-h)$。设线面角为 $\theta$，则

$\sin \theta =\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}|}{|\mathbf{n}||\overrightarrow{A_{1}C}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+h^2}}$。

由 $\theta =45^{\circ }$ 得 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $h^2=2$，$h=\sqrt{2}$。

$S_{△AEC}=\frac{1}{2}\times EC\times AE=\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$F$ 是 $C{C}_1$ 中点，$F$ 到平面 $AEC$（即底面所在水平面）的距离为 $\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与性质；直线与平面所成的角；锥体体积

核心方法：线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直；法向量求线面角；换底算体积

避坑指南：①线面角用 $\sin$ 不是 $\cos$；②$F$ 到底面 $AEC$ 所在平面的距离是 $\frac{h}{2}$（$F$ 为 $C{C}_1$ 中点），三棱锥换底后”高减半”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱 + 正三角形底面是立体几何大题的标准舞台（doc 考点定位：柱锥台体积、面面垂直），向量法与几何法在此题可互验。

结论推广：一般地，底为边长 $a$ 的正三角形、高 $h$ 的直三棱柱中，$A$ 到侧面 $B_{1}BC{C}_1$ 的距离即 $AE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；中点锥体的体积恒为对应大锥的 $\frac{1}{4}$ 倍（同底半高）。

方法推广：立体几何两问结构：“垂直证明”走线线—线面—面面链条；“计算”先定参数（高），再选底面换底算体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

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• 2013年湖南卷理-19
• 2011-湖南卷理-19