2007-湖南卷文-06 单-正四棱柱垂直与异面

本题导读

本题考查正四棱柱，以及异面直线。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$、$F$ 分别是 $A{B}_1$、$B{C}_1$ 的中点，则以下结论中不成立的是 ()

A. $EF$ 与 $B{B}_1$ 垂直　　　　　　　　　　　　B. $EF$ 与 $BD$ 垂直

C. $EF$ 与 $CD$ 异面　　　　　　　　　　　　　D. $EF$ 与 $A_1{C}_1$ 异面

🔍【思路分析】

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1. 建系：$B$ 为原点，$BA$、$BC$、$B{B}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴，设棱长 2。
2. 中点坐标 $E(1,0,1)$、$F(0,1,1)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,1,0)$。
3. 数量积判垂直（A、B），混合积判异面（C），方向向量判共线（D）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 2，以 $B$ 为原点、$BA$，$BC$，$B{B}_1$ 为 $x$，$y$，$z$ 轴建系．则 $B(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$D(2,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$B_1(0,0,2)$，$C_1(0,2,2)$；$E$ 为 $A{B}_1$ 中点 $(1,0,1)$，$F$ 为 $B{C}_1$ 中点 $(0,1,1)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,1,0)$． A：$\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0$，垂直，成立． B：$\overrightarrow{BD}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{BD}=-2+2=0$，垂直，成立． C：$\overrightarrow{CD}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=(1,-2,1)$；$\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{EF}=(2,0,0)\times (-1,1,0)=(0,0,2)$，与 $\overrightarrow{CE}$ 的数量积 $=2\ne 0$，三向量不共面，故 $EF$ 与 $CD$ 异面，成立． D：$\overrightarrow{A_1{C}_1}=(-2,2,0)=2\overrightarrow{EF}$，故 $EF\parallel A_1{C}_1$，两直线共面平行，不异面——不成立． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱垂直与异面

核心方法：建系坐标化：$\overrightarrow{EF}=(-1,1,0)$，数量积判垂直、混合积判异面、方向向量判共线

避坑指南：$EF\parallel A_1{C}_1$ 是平行不是异面——平行线必共面；别漏验”垂直还需相交”的直觉误导（垂直可异面）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱中线段位置关系，立几小题坐标法典范

结论推广：异面判定用混合积 $\ne 0$；平行用方向向量共线

方法推广：立几位置关系题一律建系：数量积、混合积、方向向量三板斧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-18 解-线面角体积
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角