2007-湖南卷文-18 解-直二面角垂直与二面角

本题导读

本题考查直二面角。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 如图，已知直二面角 $$\begin{gathered} alpha-PQ- \\ beta \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} A \\ inPQ \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} B \\ in \\ alpha \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} C \\ in \\ beta \end{gathered}$$，$CA=CB$，\\angle BAP=45^\\circ，直线 $CA$ 和平面 $alpha$ 所成的角为 30^\\circ． （1）证明：$$\begin{gathered} BC \\ perpPQ \end{gathered}$$； （2）求二面角 $B-AC-P$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 在 $beta$ 内过 $C$ 作 $$\begin{gathered} CO \\ perpPQ \end{gathered}$$ 于 $O$，连 $OA$、$OB$。$$\begin{gathered} alpha \\ perp \\ beta \end{gathered}$$ 且 $$\begin{gathered} CO \\ perpPQ \end{gathered}$$ ⟹ $$\begin{gathered} CO \\ perp \\ alpha \end{gathered}$$，$angleCAO$ 即 $CA$ 与 $alpha$ 所成角 =30^\\circ。
2. Rt$triangleCOA$ 与 Rt$triangleCOB$（$CO$ 公共、$CA=CB$）⟹ $OA=OB$。
3. $triangleAOB$ 中 $OA=OB$、\\angle BAO=45^\\circ（$O$、$A$ 均在 $PQ$ 上，\\angle BAP=45^\\circ）⟹ 等腰且底角 45^\\circ ⟹ \\angle AOB=90^\\circ，$$\begin{gathered} OB \\ perpPQ \end{gathered}$$。
4. $$\begin{gathered} PQ \\ perpCO \end{gathered}$$ 且 $$\begin{gathered} PQ \\ perpOB \end{gathered}$$ ⟹ $$\begin{gathered} PQ \\ perp \end{gathered}$$ 平面 $BCO$ ⟹ $$\begin{gathered} PQ \\ perpBC \end{gathered}$$。
5. (2) 过 $O$ 在平面 $ABC$ 内作 $$\begin{gathered} OD \\ perpAC \end{gathered}$$ 于 $D$，连 $BD$。$$\begin{gathered} OB \\ perp \end{gathered}$$ 平面 $OAC$（$$\begin{gathered} OB \\ perpOA \end{gathered}$$、$$\begin{gathered} OB \\ perpOC \end{gathered}$$）⟹ 三垂线定理 $$\begin{gathered} BD \\ perpAC \end{gathered}$$，$angleBDO$ 为二面角 $B-AC-P$ 的平面角。
6. 设 $CA=a$：$$\begin{gathered} CO= \\ dfraca2 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} AO= \\ dfrac \\ sqrt3a2=OB \end{gathered}$$；$$\begin{gathered} OD= \\ dfracCO \\ cdotAOCA= \\ dfrac \\ sqrt3a4 \end{gathered}$$；$$\begin{gathered} tan \\ angleBDO= \\ dfracOBOD=2 \end{gathered}$$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）证明见解析；（2）$arctan2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）在平面 $beta$ 内过点 $C$ 作 $$\begin{gathered} CO \\ perpPQ \end{gathered}$$ 于点 $O$，连结 $OA$、$OB$． 因二面角 $$\begin{gathered} alpha-PQ- \\ beta \end{gathered}$$ 是直二面角，$$\begin{gathered} CO \\ subset \\ beta \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} CO \\ perpPQ \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} CO \\ perp \\ alpha \end{gathered}$$，$angleCAO$ 即直线 $CA$ 与平面 $alpha$ 所成的角，为 $$\begin{gathered} 30^{ \\ circ} \end{gathered}$$． 在 Rt$triangleCOA$ 与 Rt$triangleCOB$ 中，$CO$ 为公共边，$CA=CB$，故 $OA=OB$，且 $$\begin{gathered} CO= \\ dfrac12CA \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} OA= \\ dfrac \\ sqrt32CA \end{gathered}$$． 在 $triangleAOB$ 中，$OA=OB$，$$\begin{gathered} angleBAO=45^{ \\ circ} \end{gathered}$$（$O$、$A$ 均在直线 $PQ$ 上），故 $$\begin{gathered} angleABO=45^{ \\ circ} \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} angleAOB=90^{ \\ circ} \end{gathered}$$，即 $$\begin{gathered} OB \\ perpPQ \end{gathered}$$． 又 $$\begin{gathered} CO \\ perpPQ \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} OB \\ capCO=O \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} PQ \\ perp \end{gathered}$$ 平面 $BCO$，而 $$\begin{gathered} BC \\ subset \end{gathered}$$ 平面 $BCO$，所以 $$\begin{gathered} BC \\ perpPQ \end{gathered}$$． （2）过 $O$ 在平面 $ABC$ 内作 $$\begin{gathered} OD \\ perpAC \end{gathered}$$ 于点 $D$，连结 $BD$． 由（1）知 $$\begin{gathered} OB \\ perpOA \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} OB \\ perpCO \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} OB \\ perp \end{gathered}$$ 平面 $OAC$，又 $$\begin{gathered} OD \\ subset \end{gathered}$$ 平面 $OAC$，得 $$\begin{gathered} OB \\ perpOD \end{gathered}$$． 由三垂线定理的逆定理知 $$\begin{gathered} BD \\ perpAC \end{gathered}$$（$BD$ 为斜线段，$OD$、$OB$ 为垂线段构成三垂线结构），故 $angleBDO$ 是二面角 $B-AC-P$ 的平面角． 设 $CA=a$，则 $$\begin{gathered} CO= \\ dfraca2 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} AO=OB= \\ dfrac \\ sqrt32a \end{gathered}$$． 在 Rt$triangleCOA$ 中，$$\begin{gathered} OD \\ cdotCA=CO \\ cdotAO \end{gathered}$$（等面积法），$$\begin{gathered} OD= \\ dfrac \\ dfraca2 \\ cdot \\ dfrac \\ sqrt32aa= \\ dfrac \\ sqrt34a \end{gathered}$$． 在 Rt$triangleBOD$ 中，$$\begin{gathered} tan \\ angleBDO= \\ dfracOBOD= \\ dfrac \\ frac \\ sqrt32a \\ frac \\ sqrt34a=2 \end{gathered}$$． 故二面角 $B-AC-P$ 的大小为 $arctan2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直二面角垂直与二面角

核心方法：$CO\perp PQ\Rightarrow CO\perp \alpha$，$\angle CAO=30^{\circ }$；$CA=CB\Rightarrow OA=OB$，底角 $45^{\circ }$ 推 $\angle AOB=90^{\circ }$；三垂线得平面角 $=\arctan 2$

避坑指南：等腰 $△AOB$ 顶角 $90^{\circ }$ 是关键一跳：$OA=OB$ 且底角 $45^{\circ }$；二面角平面角用三垂线构造，别忘等面积法求 $OD$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直二面角中的垂直证明与二面角计算，立几解答题

结论推广：$\arctan 2$ 来自 $OB=2\cdot OD$ 的比例

方法推广：面面垂直 + 等腰条件是”隐藏直角”的高发结构，几何法先找垂线段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-18 解-线面角体积
• 2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角