2015-湖南卷理-13 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，特别是离心率的求解。解题关键在于利用中点坐标公式将“虚轴端点”这一条件转化为双曲线上点 $P$ 的坐标。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 设 $F$ 是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $PF$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设基本量坐标：不妨设右焦点 $F(c,0)$，上虚轴端点为 $M(0,b)$。
2. 利用中点公式：设点 $P$ 坐标为 $(x_0,y_0)$。根据 $M$ 是 $PF$ 的中点，建立 $x_0,y_0$ 与 $c,b$ 的数量关系。
3. 代入曲线方程：将求得的点 $P$ 坐标代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
4. 构建 $a,c$ 齐次式：化简方程消去 $b$，整理得到关于 $a$ 和 $c$ 的等式。
5. 计算离心率：根据 $e=\frac{c}{a}$ 算出结果。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标转化 设焦点 $F(c,0)$，虚轴的一个端点为 $M(0,b)$。

设 $P(x_0,y_0)$，因为 $M$ 是线段 $PF$ 的中点，由中点坐标公式： $\{\begin{array}{l}\frac{x_0+c}{2}=0\\ \frac{y_0+0}{2}=b\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=-c\\ y_0=2b\end{array}$ 故点 $P$ 的坐标为 $(-c,2b)$。

第二步：代入方程 点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，将其坐标代入方程得： $\frac{(-c{)}^2}{a^2}-\frac{(2b{)}^2}{b^2}=1$ 化简得： $\frac{c^2}{a^2}-\frac{4b^2}{b^2}=1$ $\frac{c^2}{a^2}-4=1$

第三步：计算离心率 $\frac{c^2}{a^2}=5$ 由于双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}$ ($e>1$)，则： $e^2=5⟹e=\sqrt{5}$

答案：$\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线的几何性质（焦点、虚轴端点、离心率定义）；中点坐标公式。
• 避坑指南：
  • 中点角色：一定要分清楚“谁是谁的中点”。本题是 $M$ 为 $PF$ 中点，若误设 $P$ 为 $MF$ 中点则会导致错误。
  • 虚轴概念：双曲线的虚轴长为 $2b$，端点位于非对称轴上，坐标通常为 $(0,\pm b)$。
• 核心方法：“点在曲线上”。当题目给出某种特殊的几何位置关系时，先通过几何公式求出动点坐标，再代入曲线方程构造关于基本量（$a,b,c$）的齐次等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：若线段 $PF$ 的中点恰好是实轴的一个端点 $(a,0)$，则 $x_0=2a-c,y_0=0$。代入方程得 $\frac{(2a-c{)}^2}{a^2}=1$，可解得 $e=1$（不合题意舍去）或 $e=3$。
• 方法推广：向量法。利用 $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MF}$ 同样可以快速求出 $P$ 点坐标。
• 相关知识点：椭圆离心率、三角形中位线定理在解析几何中的应用。

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类题演练(Links)

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