2015-福建卷理-13 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型与定积分的综合应用。解题关键在于将概率问题转化为面积比问题，通过定积分计算抛物线下的曲边梯形面积，进而求出阴影部分的面积。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 如图，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$，函数 $f(x)=x^2$.若在矩形 $ABCD$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定矩形范围：根据 $A(1,0)$ 和 $C(2,4)$ 确定矩形 $ABCD$ 的顶点坐标。$B$ 点坐标为 $(2,0)$，$D$ 点坐标为 $(1,4)$。
2. 计算总面积：计算矩形 $ABCD$ 的面积 $S_{总}$。
3. 计算阴影面积：阴影部分的面积 $S_{阴影}$ 等于矩形面积减去函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[1,2]$ 上的定积分（即函数下方的曲边梯形面积）。
4. 求解概率：利用几何概型概率公式 $P=\frac{S_{阴影}}{S_{总}}$ 得出结果。

✅【答案】

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$\frac{5}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算矩形 $ABCD$ 的面积 由点 $A(1,0)$，$C(2,4)$ 可知： 矩形的宽 $w=2-1=1$； 矩形的高 $h=4-0=4$。 所以总面积 $S_{总}=1\times 4=4$。

第二步：计算抛物线下方的曲边梯形面积 设抛物线 $f(x)=x^2$ 与 $x$ 轴及直线 $x=1,x=2$ 围成的面积为 $S_1$： $S_1={\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^2=\frac{1}{3}(2^3-1^3)=\frac{7}{3}$。

第三步：计算阴影部分面积 阴影部分面积 $S_{阴影}=S_{总}-S_1=4-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}$。

第四步：求概率 根据几何概型公式： $P=\frac{S_{阴影}}{S_{总}}=\frac{\frac{5}{3}}{4}=\frac{5}{12}$。

故答案为：$\frac{5}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何概型核心：概率只与区域的测度（长度、面积或体积）成正比，公式为 $P(A)=\frac{\text{构成事件}A\text{的区域面积}}{\text{全部结果构成的区域面积}}$。
2. 定积分应用：求不规则图形面积时，定积分是最强大的工具。需注意积分上下限的确定以及原函数的正确推导。
3. 计算陷阱：本题阴影部分在函数上方。习惯上学生容易直接算积分结果 $\frac{7}{3}$ 作为分子，忽略了题目要求的是“剩余部分”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以直接对阴影部分建积分：$S_{阴影}={\int }_1^2(4-x^2)dx$。 $S_{阴影}=[4x-\frac{1}{3}{x}^3{]}_1^2=(8-\frac{8}{3})-(4-\frac{1}{3})=\frac{16}{3}-\frac{11}{3}=\frac{5}{3}$。
• 变式思考: 若随机点取自整个坐标系第一象限内 $x\in [0,2],y\in [0,4]$ 的大矩形中，取自阴影部分的概率是多少？ (提示：总面积变为 8，概率变为 $\frac{5/3}{8}=\frac{5}{24}$。)

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-14 填-面积型几何概型
• 2013年福建卷理-15
• 2009-福建卷理-04