2014-福建卷理-14 填-面积型几何概型

本题导读

本题结合了反函数的图象对称性、定积分求曲边梯形面积以及几何概型。解题的关键是识别两块阴影部分面积相等，并通过定积分准确计算出其中一块的面积。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 如图，在边长为 $e$（$e$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：这是一个典型的面积型几何概型问题，概率 $P=\frac{\text{阴影部分面积}}{\text{正方形总面积}}$。
2. 分析对称性：图中的两条曲线分别是 $y=e^x$ 和 $y=\ln x$，它们互为反函数，其图象关于直线 $y=x$ 对称。正方形的两条边 $x=e$ 和 $y=e$ 也关于 $y=x$ 对称。因此，位于 $y$ 轴与 $y=e^x$ 之间的阴影部分，和位于 $x$ 轴与 $y=\ln x$ 之间的阴影部分，面积是完全相等的。
3. 计算面积：只需利用定积分计算出其中一块阴影的面积（例如左上角那一块），然后乘以 $2$ 即可得到总阴影面积。
4. 计算概率：将求得的阴影总面积除以正方形的总面积 $e^2$。

✅【答案】

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$\frac{2}{e^2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析图象对称性 正方形的四个顶点分别为 $(0,0),(e,0),(e,e),(0,e)$。总面积 $S_{\text{总}}=e\times e=e^2$。 已知曲线 $y=e^x$ 与 $y=\ln x$ 互为反函数，它们的图象关于直线 $y=x$ 对称。 根据图示：

• 上方的阴影区域是由 $x=0$（即 $y$ 轴），$y=e$，以及曲线 $y=e^x$ 围成的图形。该区域在 $x$ 轴上的投影区间为 $[0,1]$（因为当 $y=e$ 时，$e^x=e⟹x=1$）。
• 下方的阴影区域是由 $y=0$（即 $x$ 轴），$x=e$，以及曲线 $y=\ln x$ 围成的图形。该区域在 $x$ 轴上的投影区间为 $[1,e]$。 由对称性可知，这两块阴影区域的面积相等。

第二步：利用定积分求阴影面积 我们计算上方阴影区域的面积 $S_1$。 该区域位于直线 $y=e$ 的下方，曲线 $y=e^x$ 的上方，且 $x\in [0,1]$。 所以 $S_1={\int }_0^1(e-e^x)\mathrm{d}x$ $=(ex-e^x){|}_0^1$ $=(e\cdot 1-e^1)-(e\cdot 0-e^0)$ $=(e-e)-(0-1)$ $=1$。 所以，阴影部分的总面积 $S_{\text{阴}}=2S_1=2\times 1=2$。

第三步：计算概率 根据几何概型概率公式： $P=\frac{S_{\text{阴}}}{S_{\text{总}}}=\frac{2}{e^2}$。

故答案为 $\frac{2}{e^2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数图象对称性、定积分与几何概型

2. 核心方法：利用 $y=e^x$ 与 $y=\ln x$ 关于 $y=x$ 对称，定积分求一块阴影面积再乘 2

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数图象对称性与定积分求面积

2. 结论推广: 面积型几何概型概率＝阴影面积÷总面积。

3. 方法推广: 可迁移到结合对称性与定积分的几何概型求概率类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-05 单-面积类几何概型
• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型