2015-福建卷理-14 填-分段函数的值域

本题导读

本题考查分段函数值域的综合应用。解题关键在于分别求出每一段函数在其定义域内的值域，再根据“总值域是各段值域的并集”这一原则，通过建立关于参数 $a$ 的不等式组来确定其取值范围。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}-x+6,x\le 2\\ 3+{\log }_{a}x,x>2\end{array}$ ($a>0$ 且 $a\ne 1$) 的值域是 $[4,+\infty )$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第一段函数：当 $x\le 2$ 时，$f(x)=-x+6$。这是一个减函数，计算其在端点处的值，确定该段的值域。
2. 分析第二段函数：当 $x>2$ 时，$f(x)=3+{\log }_{a}x$。
   • 要使总值域包含 $[4,+\infty )$ 且没有上限，对数函数必须是增函数，从而确定 $a>1$。
   • 确定该段函数在 $x\to 2^{+}$ 时的临界值。
3. 结合值域条件：
   • 第一段的值域为 $[4,+\infty )$，这已经完全覆盖了题目要求的目标值域。
   • 为了保证总值域恰好为 $[4,+\infty )$，第二段函数的值域必须是 $[4,+\infty )$ 的子集。
   • 建立关于 $a$ 的不等式并求解。

✅【答案】

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$(1,2]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求第一段函数的值域 当 $x\le 2$ 时，$f(x)=-x+6$。 因为 $-x\ge -2$，所以 $-x+6\ge 4$。 即第一段的值域为 $V_1=[4,+\infty )$。

第二步：分析第二段函数的性质 当 $x>2$ 时，$f(x)=3+{\log }_{a}x$。 由于第一段的值域已经是 $[4,+\infty )$，要使全段函数的值域仍为 $[4,+\infty )$：

1. 第二段函数的值域不能超出 $[4,+\infty )$，即不能出现小于 4 的值；

2. 由于第一段已经提供了向上的无限延伸，第二段只需保证不“掉出”范围即可。 若 $0<a<1$，则 ${\log }_{a}x$ 随 $x$ 增大而减小，值域会向 $-\infty$ 延伸，不符合题意。 故必有 $a>1$，此时 $f(x)$ 为增函数。

第三步：建立不等式求解 对于增函数 $f(x)=3+{\log }_{a}x(x>2)$，其值域为 $(3+{\log }_{a}2,+\infty )$。 要使此范围包含于 $[4,+\infty )$，必须满足： $3+{\log }_{a}2\ge 4$ ${\log }_{a}2\ge 1$ 因为 $a>1$，所以 ${\log }_{a}2\ge {\log }_{a}a$ 即 $2\ge a$。

第四步：总结范围 综合 $a>1$ 且 $a\le 2$，得 $1<a\le 2$。

故答案为：$(1,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分段函数值域法则：分段函数的值域 $V=V_1\cup V_2$。本题的特殊性在于 $V_1$ 已经等于目标值域，因此只需限制 $V_2\subseteq V_1$。
2. 对数函数基准：掌握 $a>1$（增）与 $0<a<1$（减）的图象特征是处理此类问题的基本功。
3. 临界点闭合性：注意 $x>2$ 是开区间，但在值域讨论中，如果要求值域是闭区间 $[4,\dots ]$，对数部分的起始值必须大于或等于 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以通过画出 $y=-x+6$ 的射线和对数函数的曲线来直观观察。
• 变式思考: 若题目要求函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数，则 $a$ 的范围是多少？ (提示：需满足 $0<a<1$ 且第一段末端值 $\ge$ 第二段起始值，即 $4\ge 3+{\log }_{a}2$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象
• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题
• 2014-福建卷理-04 单-对数函数及其性质