2014-福建卷理-04 单-对数函数及其性质

本题导读

本题考查基本初等函数的图象与性质。解题的关键在于通过已知的对数函数图象求出底数参数，再依次判断各选项中指数函数、幂函数及对数复合函数的图象特征。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 若函数 $y={\log }_{a}x$ ($a>0$, 且 $a\ne 1$) 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定底数 $a$ 的值：观察题干给出的 $y={\log }_{a}x$ 的图象，发现它经过点 $(3,1)$。将点坐标代入解析式，即可求得 $a$ 的值。
2. 逐项验证图象性质：
   • 将求得的 $a$ 值代入各选项的函数解析式中。
   • 分析每个新函数的定义域、单调性、奇偶性以及特殊点。
   • 对比选项中的图象走势是否与理论分析一致。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求参数 $a$ 由题意可知，函数 $y={\log }_{a}x$ 的图象经过点 $(3,1)$。 代入解析式得 ${\log }_{a}3=1$，解得 $a=3$。

第二步：逐项判断各选项

• 选项 A：函数解析式为 $y=3^{-x}=(\frac{1}{3}{)}^x$。该函数底数 $0<\frac{1}{3}<1$，为单调递减函数。而图示 A 中的图象是单调递增的，故 A 不正确。
• 选项 B：函数解析式为 $y=x^3$。该函数为幂函数，是定义域为 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，经过原点 $(0,0)$ 和点 $(1,1)$。图示 B 完全符合这些特征，故 B 正确。
• 选项 C：函数解析式为 $y=(-x{)}^3=-x^3$。该函数在 $\mathbb{R}$ 上是单调递减函数，而图示 C 中的图象是单调递增的，故 C 不正确。
• 选项 D：函数解析式为 $y={\log }_3(-x)$。其定义域为 $-x>0$，即 $x<0$。根据函数图象平移与对称规律，$y={\log }_3(-x)$ 的图象与 $y={\log }_{3}x$ 的图象关于 $y$ 轴对称。当 $x=-3$ 时，$y={\log }_{3}3=1$，即图象应过点 $(-3,1)$ 且主要在第二象限。而图示 D 过点 $(-3,-1)$ 且在 $x$ 轴下方，故 D 不正确。

综上所述，正确的图象是 B。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数、指数、幂函数的图象与性质

2. 核心方法：由图象过定点求出底数 $a$，再逐项验证各函数图象的单调性、奇偶性与特殊点

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指对幂函数图象变换

2. 结论推广: $y={\log }_a(-x)$ 与 $y={\log }_{a}x$ 关于 $y$ 轴对称。

3. 方法推广: 可迁移到由图象反推解析式、判断函数图象正误类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-08 单-函数性质
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2025-北京卷-15 填-函数性质