2015-福建卷理-22 解-参数方程

本题导读

本题考查解析几何中的坐标系变换。第一问要求熟练掌握圆的参数方程消参以及利用三角恒等变换将极坐标方程化为直角坐标方程；第二问通过点到直线的距离公式建立参数 $m$ 的方程，考查基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+3\cos t\\ y=-2+3\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数).在以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2}\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{4})=m$ ($m\in \mathbb{R}$).

(1) 求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2) 设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离等于 2，求 $m$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（方程互化）：
   • 圆的消参：利用 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$，将参数方程转化为 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$ 的标准形式。
   • 极坐标化直角：利用两角差的正弦公式展开极坐标方程，再代入 $\rho \cos \theta =x$ 和 $\rho \sin \theta =y$ 进行转化。
2. 第二问（距离公式）：
   • 提取圆心 $C$ 的坐标。
   • 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，结合 $d=2$ 建立关于 $m$ 的绝对值方程并求解。

✅【答案】

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故 $m=-3\pm 2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求普通方程与直角坐标方程 由圆 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x-1=3\cos t\\ y+2=3\sin t\end{array}$， 两式平方相加得：$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=9$。 故圆 $C$ 的普通方程为 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$。

对于直线 $l$ 的极坐标方程：$\sqrt{2}\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=m$， 展开得：$\sqrt{2}\rho (\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta )=m$， 即 $\rho \sin \theta -\rho \cos \theta =m$。 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 得：$y-x=m$。 故直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x-y+m=0$。

(2) 求 $m$ 的值 由（Ⅰ）知，圆心 $C$ 的坐标为 $(1,-2)$，直线 $l$ 的方程为 $x-y+m=0$。 依题意，圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 $d=2$： $d=\frac{|1-(-2)+m|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|3+m|}{\sqrt{2}}=2$。 解得 $|3+m|=2\sqrt{2}$。 则 $3+m=2\sqrt{2}$ 或 $3+m=-2\sqrt{2}$。 故 $m=-3\pm 2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 消参技巧：三角形式的参数方程最常用的工具是同角三角函数平方和关系。
2. 极坐标转换关键：遇到 $\rho \sin (\theta \pm \alpha )$ 或 $\rho \cos (\theta \pm \alpha )$ 形式，必须先用和差角公式展开，再转化为 $x,y$。
3. 距离公式细节：注意公式分母是直线系数的平方和，分子带有绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则距离 $d$ 应等于圆的半径 $r=3$。
• 变式思考: 若直线 $l$ 过圆心 $C$，则 $m$ 的取值是多少？ (提示：将 $(1,-2)$ 代入 $x-y+m=0$，得 $1+2+m=0⟹m=-3$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-21B 解-坐标系与参数方程
• 2013年福建卷理-3
• 2011-福建卷理-21B