2014-福建卷理-21B 解-坐标系与参数方程

本题导读

本题考查参数方程向普通方程的转化，以及利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a-2t\\ y=-4t\end{array}$（$t$ 为参数），圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=4\cos \theta \\ y=4\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）.

(1) 求直线 $l$ 和圆 $C$ 的普通方程；

(2) 若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（消参）：
   • 直线方程：通过代入消元法消去参数 $t$。由 $y=-4t$ 得 $t=-\frac{y}{4}$，代入 $x$ 的表达式即可。
   • 圆方程：利用同角三角函数平方和公式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$。
2. 第二问（判定）：
   • 直线与圆有公共点，意味着直线与圆相切或相交。
   • 几何法：圆心到直线的距离 $d$ 小于或等于圆的半径 $R$。
   • 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\le R$ 建立关于 $a$ 的不等式并求解。

✅【答案】

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(1) 求普通方程；$2x-y-2a=0$；$x^2+y^2=16$；(2)求实数 $a$ 的取值范围

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求普通方程

1. 对于直线 $l$： 由 $\{\begin{array}{l}x=a-2t\text{(1)}\\ y=-4t\text{(2)}\end{array}$ 由 ② 得 $2t=-\frac{y}{2}$，代入 ① 得 $x=a-(-\frac{y}{2})$， 整理得直线 $l$ 的普通方程为：$2x-y-2a=0$。
2. 对于圆 $C$： 由 $\{\begin{array}{l}x=4\cos \theta \\ y=4\sin \theta \end{array}$ 得 $\{\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{x}{4}\\ \sin \theta =\frac{y}{4}\end{array}$ 由 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 得 $(\frac{x}{4}{)}^2+(\frac{y}{4}{)}^2=1$， 整理得圆 $C$ 的普通方程为：$x^2+y^2=16$。

(2) 求实数 $a$ 的取值范围 由(1)知，圆 $C$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $R=4$。 若直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，则圆心到直线的距离 $d\le R$。 $d=\frac{|2\times 0-0-2a|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-2a|}{\sqrt{5}}$ 则有 $\frac{|2a|}{\sqrt{5}}\le 4$，即 $|a|\le 2\sqrt{5}$。 解得：$-2\sqrt{5}\le a\le 2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与普通方程互化、直线与圆位置关系

2. 核心方法：消参得普通方程，用圆心到直线距离 $d\le R$ 建立不等式求 $a$ 范围

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 参数方程消参与直线圆位置关系判定

2. 结论推广: 直线与圆有公共点等价于 $d\le R$。

3. 方法推广: 可迁移到参数方程消参、直线与圆位置关系求参数类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-23 解-坐标系与参数方程
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程