2015-福建卷理-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查不等式选讲的核心内容。第一问利用绝对值三角不等式确定参数和；第二问通过构造特定的序列利用柯西不等式求解二次型结构的最小值，考查对不等式取等条件的掌握。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 选修 4-5：不等式选讲 已知 $a>0,b>0,c>0$，函数 $f(x)=|x+a|+|x-b|+c$ 的最小值为 4.

(1) 求 $a+b+c$ 的值；

(2) 求 $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（绝对值不等式）：
   • 根据绝对值三角不等式 $|x+a|+|x-b|=|x+a|+|b-x|\ge |(x+a)+(b-x)|$。
   • 得到 $|x+a|+|x-b|\ge a+b$，从而确定 $f(x)$ 的最小值表达式，并与 4 建立等量关系。
2. 第二问（柯西不等式）：
   • 已知 $a+b+c=4$，目标式为平方和形式 $\sum x_i^2$。
   • 构造两组序列：$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{3}b,c)$ 和 $(2,3,1)$。
   • 利用柯西不等式 $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge (\sum a_i{b}_i{)}^2$ 求解，并验证取等条件。

✅【答案】

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故 $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{8}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a+b+c$ 的值 因为 $a>0,b>0$，所以 $a+b>0$。 利用绝对值三角不等式： $f(x)=|x+a|+|b-x|+c\ge |(x+a)+(b-x)|+c=|a+b|+c$。 当且仅当 $-a\le x\le b$ 时，等号成立。 由题意知 $f(x)$ 的最小值为 $a+b+c=4$。 故 $a+b+c=4$。

(2) 求 $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2$ 的最小值 由柯西不等式得： $\left(\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2\right)\left(4+9+1\right)\ge {\left(\frac{a}{2}\times 2+\frac{b}{3}\times 3+c\times 1\right)}^2$ $\left(\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2\right)\times 14\ge (a+b+c{)}^2$。 将 $a+b+c=4$ 代入： $14\left(\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2\right)\ge 16$ $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2\ge \frac{16}{14}=\frac{8}{7}$。 当且仅当 $\frac{a/2}{2}=\frac{b/3}{3}=\frac{c}{1}$，即 $a=\frac{8}{7},b=\frac{18}{7},c=\frac{2}{7}$ 时，等号成立。 故 $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{9}{b}^2+c^2$ 的最小值为 $\frac{8}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 绝对值函数最值：形如 $y=|x-a|+|x-b|$ 的函数在区间 $[a,b]$ 上取得最小值 $|a-b|$，其图像呈“平底锅”状。
2. 柯西不等式配对技巧：在使用柯西不等式求 $\sum \frac{x_i^2}{k_i}$ 的最小值时，常配对序列 $(\sqrt{k_i})$，使得乘积项刚好抵消分母，出现已知常数项。
3. 取等条件验证：在解答题中，必须说明取等号时的参数值及其是否满足 $a,b,c>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第二问也可以使用权方和不等式直接得出结论。
• 变式思考: 若要求 $\frac{4}{a}+\frac{9}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值，该如何利用 $a+b+c=4$ 进行构造？ (提示：利用 $(a+b+c)(\frac{2^2}{a}+\frac{3^2}{b}+\frac{1^2}{c})\ge (2+3+1{)}^2$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.07 常见三角不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练(Links)

• 2013年福建卷理-21
• 2014-福建卷理-21C 解-不等式选讲
• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题