2015-重庆卷文-06 单-两角和差

本题导读

本题考查三角恒等变换中的两角差正切公式，关键在于将目标角 $\beta$ 转化为 $(\alpha +\beta )-\alpha$。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 若 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}$，则 $\tan \beta =$ ()

A. $\frac{1}{7}$　　　　　　　B. $\frac{1}{6}$　　　　　　　C. $\frac{5}{7}$　　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $\beta$ 变形为 $(\alpha +\beta )-\alpha$。
2. 利用两角差的正切公式 $\tan \beta =\tan [(\alpha +\beta )-\alpha ]=\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan (\alpha +\beta )\tan \alpha }$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$，所以 $\tan \beta =\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan (\alpha +\beta )\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{1+\frac{1}{6}}=\frac{1}{7}$

A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角差的正切公式 $\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$。
2. 核心方法：角的拆分与拼凑技巧，即 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$。
3. 避坑指南：注意分母中的符号，差角公式分母为加号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自必修三/选择性必修一三角恒等变换章节的基础练习题，考查对配角技巧与正切和差公式的熟练运用。
2. 结论推广：对于已知 $\tan (\alpha \pm \beta )$ 与 $\tan \alpha$（或 $\tan \beta$）求未知角正切值的题型，均可通过 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ 或 $\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$ 快速转换计算。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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