2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式

本题导读

本题是重庆卷解析几何与三角函数的压轴选择题。题目通过复杂的三角恒等式给出角之间的隐含关系，结合面积范围考查边角转化能力，最终通过不等式性质判定选项。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)）已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $sin 2 A + sin (A - B + C) = sin (C - A - B) + \frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 所对的边，则下列不等式一定成立的是()

A. $b c (b + c) > 8$ 　　　　　　　　　　　　　B. $a c (a + b) > 162$

C. $6 \leq ab c \leq 12$ 　　　　　　　　　　　　　　　　D. $12 \leq ab c \leq 24$

🔍【思路分析】

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恒等式化简：利用 $A + B + C = π$ 替换角。

$A - B + C = π - 2 B$

$C - A - B = 2 C - π$

原式变为： $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = \frac{1}{2}$ （利用诱导公式 $sin (π - 2 B) = sin 2 B$ 和 $sin (2 C - π) = - sin 2 C$ 移项得出）。

边角性质转化：在任意三角形中，存在公式 $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$ 。

证明思路：和差化积 $sin 2 A + sin 2 B = 2 sin (A + B) cos (A - B) = 2 sin C cos (A - B)$ ，结合 $sin 2 C = 2 sin C cos C$ 提取公因式。

由此可得 $sin A sin B sin C = \frac{1}{8}$ 。

面积与外接圆关系：

面积 $S = \frac{ab c}{4 R} = \frac{( 2 R s i n A ) ( 2 R s i n B ) ( 2 R s i n C )}{4 R} = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ 。

代入积的值： $S = 2 R^{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{R ^{2}}{4}$ 。

因为 $1 \leq S \leq 2$ ，所以 $4 \leq R^{2} \leq 8$ 。

判定选项：利用正弦定理 $a = 2 R sin A$ 等进行表达并放缩。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简已知三角恒等式在 $△ A B C$ 中， $A + B + C = π$ 。 $sin 2 A + sin (π - 2 B) = sin (2 C - π) + \frac{1}{2}$ $sin 2 A + sin 2 B = - sin 2 C + \frac{1}{2}$ $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = \frac{1}{2}$

第二步：应用三角形恒等式结论利用公式 $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$ ： $4 sin A sin B sin C = \frac{1}{2} ⟹ sin A sin B sin C = \frac{1}{8}$

第三步：结合面积 $S$ 确定外接圆半径 $R$ $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (2 R sin A) (2 R sin B) sin C = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ 代入积的值： $S = 2 R^{2} \times \frac{1}{8} = \frac{R ^{2}}{4}$ 已知 $1 \leq S \leq 2$ ，故 $4 \leq R^{2} \leq 8$ ，即 $2 \leq R \leq 22$ 。

第四步：验证选项 A $b c (b + c) = ab c \cdot \frac{b + c}{a} = 8 R^{3} sin A sin B sin C \cdot \frac{s i n B + s i n C}{s i n A}$ $= 8 R^{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{s i n B + s i n C}{s i n A} = R^{3} \cdot \frac{s i n B + s i n C}{s i n A}$ 在三角形中，由大角对大边及两边之和大于第三边性质可知： $b + c > a ⟹ sin B + sin C > sin A$ 。所以 $\frac{s i n B + s i n C}{s i n A} > 1$ 。则 $b c (b + c) > R^{3}$ 。由于 $R \geq 2$ ，则 $R^{3} \geq 8$ 。所以 $b c (b + c) > 8$ 恒成立。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与解三角形边角不等式。

核心方法：化 $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = \frac{1}{2}$ 得 $sin A sin B sin C = \frac{1}{8}$ ，结合面积放缩证 A。

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$ 。

结论推广: 由 $sin A sin B sin C = \frac{1}{8}$ 与面积得 $R$ 范围。

方法推广: 边角不等式先化简三角式再结合正弦定理放缩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

11.01 正弦定理

11.02 余弦定理

10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式

2013-四川卷理-13 填-二倍角公式

2013-江西卷理-11 填-倍角公式

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